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- 2021-04-21 发布
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知集合A = {x|x2−2x−3 ≤ 0}，B = {x|x > 0}，则A ∩ B = （ ）
A．(0，3] B．(0，3) C．[0，3] D．[3， + ∞)
【答案】A
【解析】依题意得A = [−1,3],B = (0, + ∞)，所以A ∩ B = (0,3].
点睛：本题主要考查集合的交集的概念，考查一元二次不等式的解法，考查了集合的三
要素.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.在研究一个集合的过程中，首先要确
定研究对象是什么，然后常常是解一元二次不等式，要注意是取两边还是取中间.最后
根据题目求交集并集或者补集.
2．（2010•上海）若 x0 是方程 的解，则 x0 属于区间（ ）
A．（ ，1） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（0， ）
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意 x0 是方程 的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行
做题．
解：∵ ， ，
∴x0 属于区间（ ， ）．
故选 C．
考点：函数的零点与方程根的关系．
3．关于 x 的不等式 x2-（a+1）x+a＜0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是
（ ）
A．（4，5） B．（-3，-2）∪（4，5）
C．（4，5] D．[-3，-2）∪（4，5]
【答案】D
【解析】
试题分析：解不等式得 得范围是 或 ，解集中有 3 个整数，所以
的范围是[-3，-2）∪（4，5]
考点：一元二次不等式解集
4．方程组 的解集不可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由方程组 的解集所表示的集合应为点集，根据集合的表示方法，即作出判
定，得到答案.
【详解】
由题意，方程组 的解集所表示的集合应为点集，根据集合的表示方法，可
得方程组的解集可表示为 A、B、D 的形式，
x 1 x a< < 1a x< < a
2 5
1
x y
x y
+ =
− =
( ) 2 5, 1
x yx y x y
+ = − =
( ) 2, 1
xx y y
= =
{ }2,1 { }(2,1)
2 5
1
x y
x y
+ =
− =
2 5
1
x y
x y
+ =
− =
而集合 为两个元素的数集，所以不正确，
故选 C.
【点睛】
本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确判定是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【解析】
试题分析： ，所以集合 B 中一要含有元素 c，而集合 A 中的两个元
素可以在 B 中也可不在，故满足条件的集合 B 有 ， ， ， 共 4 个；
故选 C．
考点：集合的并运算．
6．下列结论中成立的是
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本不等式的性质以及特殊值法的应用判断即可．
【详解】
{ }2,1
},{ baA = },,{ cbaBA =U B
},,{ cbaBA =U
{ , , }a b c { , }a c { , }b c { }c
( )
a b c d a c+ > + ⇒ > b d> 2 2ac bc a b> ⇒ >
c b
a d
> c d a b< ⇒ < a b a b> ⇔ >
对于 A，令 ， ， ， ，显然错误；
对于 B，根据基本不等式的性质，正确；
对于 C， 符合题意但 a>b
对于 D，令 ， ，显然错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质以及特殊值法的应用，是一道基础题．
7．“ ”是“方程 表示双曲线”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若方程 表示双曲线，则 ，解得 ，则
的范围小于 ，所以“ ”是方程 表示双曲线的充分不必
要条件，故选 A.
8．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
1a = 3b = 2c = 1d =
1 , 1, 1, 22a b c d= − = − = − =
1a = 1b = −
0 2n< <
2 2
11 3
x y
n n
+ =+ −
2 2
11 3
x y
n n
+ =+ −
( )( )1 3 0n n+ − < 1 3n− < < 0 2n< <
1 3n− < < 0 2n< <
2 2
11 3
x y
n n
+ =+ −
{ }1 2A x x= − < < { }2 2 0B x x x= − < A B =
( )1 0− ， ( )0 2， ( )2 0− ， ( )2 2− ，
解一元二次不等式求得集合 ，由此求得 .
【详解】
由 ，解得 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
二、填空题
9．设函数 的根都在区间[-2，2]内，且函
数 在区间（0，1）上单调递增，则 b 的取值范围是 。
【答案】
【解析】试题分析：因为函数 （b 为常数），所以
的根都在区间[-2，2]内，所以 ；又因为函数 在区间（0，1）上单
调递增，
所以 在区间（0，1）上恒成立，所以
综上可得： 。
考点：导数的应用.
10．设 ， 满足 ，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
B A B
( )2 2 2 0x x x x− = − < 0 2x< < ( )0,2A B =
x y
2 4
1
2 2
x y
x y
x y
+ ≥
− ≥ −
− ≤
z x y= +
[ )2,+∞
由题意，先作出约束条件的可行域图形，如图中阴影部分，将目标函数转化为 ，
在图中作出平行直线 ，在可行域范围内平行移动直线 ，则当移到顶点
处时，有 ，由于可行域向上无限延展，所以目标函数 的取值范围为
.
点睛：此题主要考查不等式中简单线性规划求最优解的问题，以及数形结合法在此类问
题中的应用，属于中低档题型，也是常考题型.解此类问题过程中，常用图解法来求解，
图解法很直观，首先在平面直解坐标系上画出可行域，再画出目标函数的等值线，将目
标函数的等值线平移得到最优解.
11．已知实数 满足约束条件 ,则 的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立
方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
y x z= − +
y x= − y x= −
( )2,0A min 2z = z
[ )0 + ∞，
,x y
2 0
9
4
x y
y x
y x
− ≥
≥
≥ − +
2z x y= +
由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得 ，
化目标函数 z=2x+y 为 y=-2x+z，
由图可知，当直线 y=-2x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3．
故答案为 3．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．已知实数a,b满足：a ≥ 1
2,b ∈ R，且a + |b| ≤ 1，则 1
2a +b的取值范围是 .
【答案】[ 2−1,3
2]
【解析】
试题分析：因 ,故 ,故当 时, ；又 ,所以
,由于 ,因此当 时,
是 的增函数,所以当 时,
；当 时, , 1
2a +b ≥ 1
2(1−|b|) +b = 1
2(1 + b)
+b + 1−1
≥ 2 × 2
2 −1 = 2−1,当且仅当 取等号,所以 ,故应填[ 2
2
9
4
y x
x y
+
＝
＝
3 3
4 2A（ ，）
−1,3
2].
考点：不等式的性质及运用．
【易错点晴】本题设置的是一道含双变量的函数的值域问题.求解时先运用消元的数学
思想,将两个变量 消掉 变为只含一个变量 的函数 ,然后再运用分类整合思
想分别求出该函数 的的最大值和最小值,从而确定其取值范围.求解时,先确定
, ;后将不等式变为 ,进而可得 .令
,然后分 和 两种情形求解.最后求得其取值范
围是[ 2−1,3
2].
13．下列若干命题中，正确命题的序号是______________．
①“a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7 =0 平行的充分不必要条件；
②△ABC 中，若 acosA="bcos" B，则该三角形形状为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④函数 的最小正周期是
【答案】①③
【解析】
试题分析：①直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7=0 平行可得 或 ，
因此“a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7 =0 平行的充分不必要条件；
②acosA=bcosB
或 ，因此三角形为等腰三角形或直角三角形；
③两异面直线垂直，则在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④
sin(2 )sin( 2 )3 6y x x
π π= + − ;π
2a = − 3a =
sin cos sin cosA A B B∴ =
sin 2 sin 2 2 2A B A B∴ = ∴ = 2 2A B π+ =
1 2sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 43 6 3 3 2 3y x x x x x
π π π π π = + − = + + = +
2
4 2T
π π∴ = =
考点：1．直线平行的判定；2．正弦定理解三角形；3．直线位置关系；4．三角函数化
简与性质
14．已知下列命题: (1)若 ∥ ∥ ,且 ，则 ∥ ;
(2)若 ,则 ;
(3) .则假命题的序号为__________.
【答案】(2)(3)
【解析】
【分析】
向量数量积不满足消去律和结合律.
【详解】
（1）因为有规定 ，所以向量平行满足传递性，故（1）是真命题；
（2）若 ，所以 或 或 ，故（2）是假
命题；
（3）等式 的左边可以是一个与 共线的向量，右边可以是一个与
共线的向量，所以等式不一定成立，故（3）是假命题.
15．下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。
①所有的实数的平方是正数；
②任何实数 都是方程 的根；
③被 8 整除的整数能被 4 整除
④若一个四边形是正方形，则它的四条边相等
【答案】2 个
【解析】
a ,b b c 0b ≠ a c
a b a c= b c=
( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅
0b ≠
a b a c= ( ) 0a b c⇒ ⋅ − = ( )a b c⊥ − 0a = b c=
( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅ c a
x 5 12 0x − =
【分析】
利用零的平方不是正数判断①；利用零不是方程 的根判断②；根据 8 是 4
的倍数判断③，根据正方形的定义判断④.
【详解】
下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。
对于①，零的平方不是正数，所有的实数的平方是正数错误；
对于②，零不是方程 的根，任何实数都是方程 的根错误；
对于③，因为 8 是 4 的倍数，所以被 8 整除的整数能被 4 整除正确；
对于④，根据正方形的定义知，若一个四边形是正方形，则它的四条边相等正确，
所以正确命题有 2 个，故答案为 2 个.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，属于基础题.
16．使“ ”成立的一个充分不必要条件是___________
【答案】 的真子集都可以
【解析】
【分析】
由 x2+2x﹣3＜0 解得﹣3＜x＜1，因此-3＜x＜1 的真子集是不等式 x2﹣2x﹣3＜0 成立的
一个充分不必要条件
【详解】
由 x2+2x﹣3＜0 解得﹣3＜x＜1，
因此 的真子集都可以是不等式 x2+2x﹣3＜0 成立的一个充分不必要条件．
故答案为： 的真子集都可以
5 12 0x − =
5 12 0x − = 5 12 0x − =
2 2 3 0x x+ − <
( )3,1−
( )3,1−
( )3,1−
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定，属于基础题．
三、解答题
17．已知函数 的定义域为 R.
(1)求 a 的取值范围；
(2)若函数 f(x)的最小值为 ，解关于 x 的不等式 x2+x+4a2－6a<0.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由函数 的定义域是 ,得出 恒成立,分两
种情况讨论可求出 的取值范围；(2)利用配方法求得 的最小值是
，求出 的值，代入不等式 ，利用一元
二次不等式的解法求解集即可.
【详解】
(1)∵函数 的定义域为 R，
∴ax2＋2ax＋1≥0 恒成立，当 a＝0 时，1≥0 恒成立．
当 a≠0 时，则有 ，解得 0 = − ≤
( ) ( )22 2 1 1 1f x ax ax a x a= + + = + + −
( )min 1f x a= −
由题意得 ，∴a＝ ，∴不等式 x2+x+4a2－6a<0 可化为 x2+x－2<0.解得
，
∴不等式的解集为 ．
【点睛】
本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，
属于中档题. 对于定义域为 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，
，只需 ；（2）对数型， ，
只需 ，（3）分式型， ，只需 .
18．已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的范围．
【答案】（1） （2） ．
【解析】
【试题分析】（1）先求得 .当 时， ，由此求得 的值，进
一步求得 的值.（2）由（1）知 ，由此列不等式组
来求得 的范围.
【试题解析】
（1）易知 ，
当 时， ，
21 2a− = 1
2
( )2,1−
( )2,1−
R
( ) 2f x ax bx c= + + 0
0
a >
∆ ≤
( ) ( )2logmf x ax bx c= + +
0
0
a >
∆ <
( ) 2
1f x ax bx c
= + +
0
0
a ≠
∆ <
{ }| lg( 1) 2A x y x x= = + + − { }| 2 1 3B x m x m= − ≤ ≤ +
1m = ( ) ABR
A B⊆ m
{ }( ) | 1 1R B A x x∩ = − < < [ ]1,0−
( ]1,2A = − 1m = [ ]1,4B = RC B
( )RC B A ( ]1,2A = − 2 1 1
3 2
m
m
− ≤ −
+ ≥
m
{ }| 1 2A x x= − < ≤
1m = { }|1 4B x x= ≤ ≤
∴ ．
（2）由（1）知 ，
∵ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
19．已知 .
（I）求不等式 的解集；
（II）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（I） ；（II） 或 .
【解析】
试题分析：
（I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数 的图象，
由图象求得函数 的最小值为 4，解不等式 可得所求范围．
试题解析：
（I）不等式 即为 ，等价于
①或 ② 或 ③
由①得 ；
由②得 ；
( ) { }| 1 1R B A x x∩ = − < <
{ }| 1 2A x x= − < ≤
A B⊆ { }| 2 1 3B x m x m= − ≤ ≤ +
2 1 1m − ≤ − 3 2m + ≥
1 0m− ≤ ≤
m [ ]1,0−
( ) 2 2 4f x x x= − + +
( ) 7f x <
x 2( ) 3f x m m≤ − m
{ }3 1x x− < < 4m≥ 1m ≤ −
( )f x
( )f x 2 3 4m m− ≥
( ) 7f x < 2 2 4 7x x− + + <
( )
2
2 2 4 7
x
x x
≤ −
− − + <
2 2
2 2 4 7
x
x x
− < <
− + + <
2
2 2 4 7
x
x x
≥
− + + <
3 2x− < ≤ −
2 1x− < <
由③得此不等式组无解．
综上 ．
∴不等式 的解集为 ．
（II）由题意得 ，
画出函数 的图象如图所示：
其中 ，
由图象可得函数 的最小值为 4．
由题意知 ，
即 ，
解得 或 ．
∴实数 的取值范围为 ．
20．已知函数 的定义域为 ，集合 是不等式
的解集．
(1) 求 ， ；
3 1x− < <
( ) 7f x < { }3 1x x− < <
( )
3 2, 2
6, 2 2
3 2, 2
x x
f x x x
x x
− − ≤ −
= + − < <
+ ≥
( )f x
( )2,4M − ( )2,8N
( )f x
2 3 4m m− ≥
2 3 4 0m m− − ≥
4m ≥ 1m ≤ −
m ( , 1] [4, )−∞ − +∞
1( ) lg 2
xf x x
+= − A B
( )2 22 1 0x a x a a− + + + >
A B
(2) 若 , 求实数 的取值范围．
【答案】（1）A= ， ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由 0，得 ，由 ，得：
得 ；
（2）由 得 ，从而 ，即可得解.
试题解析：
(1)由 0，得 或 ，即 A= .
由 ，得： .
所以 或 ,即 ．
(2) 由 得 .
,
故当 时, 实数 的取值范围是 ．
点睛：解答本题时要注意以下几点：
（1）在解题中注意 A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B 这几个关系式的等价性，要善于将问题
进行转化，这是解决此类问题的一种极为有效的方法．
（2）对于数集关系问题，往往要利用数轴进行分析；当根据 求参数的范围时，
一定要分 和 两种情况进行讨论．
21．已知全集 R，集合 ， .
（1）求 、 ；
A B B∪ = a
( ), 1 (2, )−∞ − ∪ +∞ ( , ) ( 1, )B a a= −∞ ∪ + +∞ [ ]1,1−
1
2
x
x
+
−
> A ( )2 22 1 0x a x a a− + + + >
( ) ( )1 0x a x a − + − > B
A B B∪ = A B⊆ 1
1 2
a
a
≥ −
+ ≤
1
2
x
x
+
−
> 1x < − 2x > ( ) ( ), 1 2,−∞ − ∪ +∞
( )2 22 1 0x a x a a− + + + > ( ) ( )1 0x a x a − + − >
x a< 1x a> + ( ) ( ), 1,B a a= −∞ ∪ + +∞
A B B∪ = A B⊆
1 1 11 2
a aa
≥ −∴ ⇒ − ≤ ≤ + ≤
A B B∪ = a [ ]1,1−
A B⊆
A φ= A φ≠
=U { }2,4 >−<= xxxA 或 { }6221 1 ≤−≤−= −xxB
A B ( ) ( )U UC A C B
（2）若集合 是集合 A 的子集，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
或 .
【解析】
试题分析：（1）集合 ，
即 ，画出数轴表示集合 ，观察图形得： ，
又 ， ， 所 以
；（2）若集合 为集合 的子集，而显然集合
为非空集合，因此应满足 或 ，解得 或 .本题主要考
查集合的运算，集合间的关系.
试题解析：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
∴ .
又∵ ，
∴ ，
（2）∵集合 是集合 的子集
∴ 或 ，
∴ 或 .
即实数 k 的取值范围为 .
{ }1212 +≤≤−= kxkxM
{ }2 4A B x x= < ≤ ( ) ( ) { }2 4U UC A C B x x x= ≤ > 或
5
2k < − 3
2k >
{ } { } { }1 11 2 2 6 1 2 3 0 1 3x xB x x x x− −= − ≤ − ≤ = ≤ ≤ = ≤ − ≤
{ }1 4B x x= ≤ ≤ ,A B { }2 4A B x x= < ≤
{ }4 2UC A x x= − ≤ ≤ { }1 4UC B x x x= < >或
( ) ( ) { }2 4U UC A C B x x x= ≤ > 或 M A M
2 1 4k + < − 2 1 2k − > 5
2k < − 3
2k >
6221 1 ≤−≤− −x 821 1 ≤≤ −x
821 1 ≤≤ −x 41 ≤≤ x
{ }41 ≤≤= xxB
{ }2,4 >−<= xxxA 或
{ }2 4A B x x= < ≤
{ }( ) ( ) ( ) 2, 4U U UC A C B C A B x x x= = ≤ > 或
{ }1212 +≤≤−= kxkxM { }2,4 >−<= xxxA 或
212 >−k 412 −<+k
2
3>k 2
5−−<
2
3
2
5| kkk 或
考点：1、集合的运算；2、集合间的关系.
22．已知命题 P：任意“ ， ”，命题 q：“存在
”若“p 或 q”为真，“p 且 q”为假命题，求实数 的取值范
围。
【答案】
【解析】
试题分析：命题 任意“ ， ”，只需 ，对 恒成立，
而 在 上是增函数， 时， ，即： ；命题 “存在
”，只需
，即： ，根据“p 或 q”为真，“p 且 q”为假命题，只要 一真一假即
可.
试题解析：命题 任意“ ， ”，只需 ，对 恒成立，
而 在 上是增函数， 时， ，即： ；命题 “存在
”，只需
，即： .则 ， ，根据“p 或 q”为真，“p 且 q”为
假命题，只要 一真一假即可.
（1）若 真 假，则 ，（2） 假 真，则
，综上所述： 的取值范围是
考点：1.恒成立问题的极端原理；2.一元二次不等式；3.复合命题的真假；