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- 2021-04-21 发布
乌兰察布分校2019学年第二学期期末考试
高二年级数学（文科）试题
（分值 150 时间 120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的
1．复数满足（是虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知全集，集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4．函数在的图象大致是
A B C D
5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为
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20，则输出的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）．
A. B. C. D.
8．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A. B. 0 C. 2 D. 50
9．已知，则（ ）
A. B. C. D.
10．设曲线y＝ax－2ln(x＋2)在点(0, f(0))处的切线方程垂直于直线为x+2y=0，则a＝( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A. B. C. D.
12．已知，则（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共4小题。每小题5分，满分20分。）
13．i是虚数单位，复数___________.
14．曲线在点处切线方程是________
15．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
16．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．
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①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．
三、解答题(共70分)
17．（本小题满分12分）
如图所示，定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程有三个不同解，求的取值范围；
18．（本小题满分12分）
已知函数（且），
⑴若，解不等式；
⑵若函数在区间上是单调增函数，求常数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的极值；（2）当时，求函数的最值．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
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（2）设，计算的导数.
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
参考答案
1．D
【解析】分析：先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.
详解：由题得：
故z所对应的坐标为，为第四象限
故选D.
点睛：考查复数的四则运算和坐标表示，属于基础题.
2．C
【解析】由题意得，
，
∴，
∴．选C．
3．A
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【解析】依题意有，解得.
4．B
【解析】由于故函数为偶函数,排除两个选项., ,故选选项.
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别,考查函数的单调性与奇偶性的判断,考查选择题排除法的思想方法.也可以利用导数求得单调性来判断.首先根据函数的奇偶性进行排除,即计算,由此判断函数为偶函数,结合图象可以排除两个选项,再根据特殊点的函数值可得到最终的选项.
5．B
【解析】由于函数为偶函数且在轴左边递减，那么在右边则是递增，由于，所以.
6．B
【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：，
，结果为整数，执行，，此时不满足；
，结果不为整数，执行，此时不满足；
，结果为整数，执行，，此时满足；
跳出循环，输出.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
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(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
7．C
【解析】选项A中，函数无零点，不合题意，故A不正确。
选项B中，函数不是偶函数，不合题意，故B不正确。
选项C中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C正确。
选项D中，函数不是偶函数，不合题意，故D不正确。
综上选C。
8．C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
9．A
【解析】由f(x)=f′(1)+xlnx，
得：f′(x)=1+lnx，
取x=1得：f′(1)=1+ln1=1
故f(e)=f′(1)+elne=1+e.
故选：A.
10．D
【解析】分析：根据题意可得切线的斜率与直线为x+2y=0的斜率相乘为-1，可得，从而可得a.
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详解：由题得：，由
点睛：考查函数的切线方程，本题的关键是要得到，考查学生的基础知识，属于基础题.
11．B
【解析】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。
12．C
【解析】分析：先求出f(x)的解析式，再求f(1)的值.
详解：设2x=t,则f(t)=,所以f(1)=,故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查函数解析式的求法和函数求值,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题是已知复合函数的解析式求原函数的解析式，所以用换元法求原函数的解析式.
13．4–i
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得：.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．
【解析】由题意，，则切点坐标为，又，则切线斜率为，所以切线方程为，即.
15．e
【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
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详解：由函数的解析式可得：，
则：.即的值为e.
点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．①.
【解析】分析：根据导函数得图像可知，1,2是导函数的解，故1,2是极值点，根据图可知1为极大值点，2是极小值点.
详解：有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错
点睛：考查函数极值点的定义以及极大值、极小值的判定，属于基础题.
17．（1）.;（2）;（3）.
【解析】试题分析：（1）由图象可知，当时， 为一次函数；当时， 是二次函数，分别用待定系数法求解析式；（2）当时， ，结合图象可以得到当时，函数的图象和函数的图象有三个公共点，即方程有三个不同解；（3）分和两种情况分别解方程即可。
试题解析：
（1）①当时，函数为一次函数，设其解析式为，
∵点和在函数图象上，
∴
解得
②当时，函数是二次函数，设其解析式为，
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∵点在函数图象上，
∴
解得
综上.
（2）由（1）得当时， ，
∴。
结合图象可得若方程有三个不同解，则。
∴实数的取值范围.
（3）当时，由得
解得 ；
当时，由得，
整理得
解得或（舍去）
综上得满足的的取值集合是.
18．（1）（2）
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【解析】试题分析：（1）当时，可得，根据对数函数的单调性求解；（2）由于为减函数，且为增函数，故有；另外真数在上恒成立，由此得到关于的不等式求解即可。
试题解析：
⑴当时，原不等式为
∴
解得
∴原不等式的解集为。
⑵设，则函数为减函数，
∵函数在区间上是单调增函数
∴，解得。
∴实数的取值范围。
点睛：解答本题时以下两个地方容易出现错误：
（1）忽视隐含条件的挖掘，在本题中对函数来讲隐含着；
（2）由于在真数的位置上，故要满足在给定区间上恒成立；
（3）对于复合型的函数，注意“同增异减”这一结论的运用。
19．(1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2)
【解析】试题分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于
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上恒成立，所以实数a的取值范围
试题解析：
（1）
函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数.
（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立.
实数a的取值范围
点睛：本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解。
20．（1）见解析；（2）见解析．
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【解析】试题分析：⑴先求出函数的导数，令，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值
⑵由⑴得时，函数取最大值， 时，函数取最小值
解析：（1），
令，解得或，
的变化如下表：
-2
2
+
0
-
0
+
单调递增
16
单调递减
-16
单调递增
∴函数的极大值为，极小值为；
（2）由（1）知，又，
∴当时，函数的最大值为，最小值为．
21．（1）.（2）.
【解析】试题分析：（1）由导数的基本定义就出斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）， .
试题解析：
（1），则，
又，∴所求切线方程为，即.
（2）， .
22．（1）当时，的直角坐标方程为，当时，
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的直角坐标方程为．（2）
【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
详解：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
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