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- 2021-04-21 发布
高二数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答案卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合交集的概念，直接求得两个集合的交集.
【详解】两个集合的交集是由两个集合公共的元素构成，故，故选D.
【点睛】本小题考查集合交集的概念，求解时要注意区间端点值是否能够取得，属于基础题.
2.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数乘法运算化简，再由复数几何意义即可求得.
【详解】
，
由复数模的求法可得．
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数模的求法，属于基础题.
3.以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.
【详解】由题意可得圆M的圆心坐标为，
以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
故选:A.
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.
4.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可.
【详解】这个数据中位于的个数为，故所求概率为
故选B
【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.
5.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数的真数大于零以及分母不等于零列不等式组即可求出答案．
【详解】由题意得，，解得或.
【点睛】本题考查求具体函数的定义域问题，属于基础题．
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用面面、线面位置关系的判定和性质，直接判定．
【详解】解：对于A，若n∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错；
对于B，若α∩β＝l，且m⊥l，则m与β不一定垂直，故错；
对于C，若m∥n，m∥β，则α与β位置关系不定，故错；
对于D，∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵m∥l，则m∥β，故正确．
故选D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用．
7.函数的零点之和为（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】函数
当时，，设其零点为，则满足，解得；
当时，，设其零点为，则满足，解得；
所以零点之和为
故选:A.
【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.
8.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案．
【详解】由题意得，，，公比，则
，故选A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9.将偶函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）
A. （） B. （）
C. （） D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】
由为偶函数可得，向右平移个单位长度后可得，令（），可得对称中心.
【详解】∵（）为偶函数，
∴，∴.
∴.
令（），得（）.
∴曲线的对称中心为（）
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，在涉及到三角函数的性质时，大多数要利用辅助角公式要将其化为三角函数的基本形式，在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则以及三角函数的对称性是解题的关键.
10.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如
.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
初如值n=11,i=1,
i=2,n=13,不满足模3余2.
i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.
i=8,n=25, 不满足模3余2,
i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.
输出i=16.选C．
11.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给关系可证明，即可将三棱锥可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥的外接球半径，即可得球的体积.
【详解】因为平面BCD，所以，又AB=4，，
所以，又，
所以，则．
由此可得三棱锥可补形成长方体如下图所示：
设长方体的外接球半径为，
则，
所以球的体积为，
故选:B.
【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.
12.如图，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于两点（在的上方），若到的一条渐近线的距离分别为，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，化简即得离心率的值.
【详解】易知的坐标分别为，，
图中对应的渐近线为，则，，
，，
，
.
故选B
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.设向量与向量共线，且，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量共线条件，即可求得的值.
【详解】向量与向量共线，且，，
则，
解得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标关系，属于基础题.
14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得当时的数列的通项公式，验证时是否符合即可.
【详解】当时，,
当时，
，
经验证当时，上式也适合，
故此数列的通项公式为，故答案为 .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.
15.曲线在点处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得导函数，在求得在点处的切线斜率，由点斜式即可求解.
【详解】∵，
∴当时，，
由点斜式可得所求切线方程为，即．
故答案为:
【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点切线方程的求法，属于基础题.
16.
某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去”丙说：“是丁去了”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是___________.
【答案】甲
【解析】
【分析】
分别假设是甲、乙、丙、丁去时，四个人所说的话的正误，进而确定结果.
【详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；
若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；
若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；
若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.
故答案为：甲.
【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知的内角所对的边分别为，且.
（1）若，角，求角的值；
（2）若的面积，，求的值.
【答案】（1）或. (2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，求得，进而可求解角B的大小；
（2）根据三角函数的基本关系式，求得，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解．
【详解】（1）根据正弦定理得，.
，，或.
（2），且，.
，，.
由正弦定理，得.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．其中在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
18.微信已成为人们常用社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
步数
性别
0~3000
3001~6000
6001~9000
9001~12000
>12000
男
1
1
3
15
5
女
0
4
11
8
2
若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．
（1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率；
（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
附：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据表中数据，计算所求的概率值；
（2）根据题意填写列表联，计算观察值，对照临界表得出结论.
【详解】解：（1）根据表中数据可知，50位好友中走路步数超过12000步有7人
由此可估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率
（2）根据题意完成列联表如下：
积极型
懈怠型
总计
男
20
5
25
女
10
15
25
总计
30
20
50
的观测值
所以有的把握认为“评定类型”与“性别”有关
【点睛】本题主要考查独立性检测的应用，相对简单，注意运算的准确性.
19.已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在上的值域．
【答案】(1)时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. (2)
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，可知，，求得最小值和最大值后即可得到函数值域.
【详解】（1）由题意得：
①当时，时，；时，
在上单调递减，在上单调递增
②当时，时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减
（2）当时，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增
当时，，
又，
在上的值域为：
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况下的符号，从而得到函数的单调性.
20.如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上．
(1)证明：平面．
(2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果.
【详解】（1）取中点，连接，
为中点
又平面，平面 平面
四边形为正方形，为中点
又平面，平面 平面
，平面 平面平面
又平面 平面
（2）为正三角形，为中点
平面平面，，平面平面，平面
平面，又平面
又，平面 平面
平面
设，则，，
，即：，解得：
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.
21.已知点是椭圆的一个焦点,点 在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点,且 (为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，利用椭圆的定义，求得，再理由椭圆中，求得的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在由，进而可求解斜率的取值范围，得到答案．
【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为，
所以点到两焦点的距离之和为.
所以.
又因为，所以，则椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意.
故设直线的方程为，，，
联立，可得.
所以
而，
由，可得.
所以，又因为，所以.
综上，.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线与曲线相交于两点，，求的值.
【答案】(1) 曲线的轨迹是以为圆心，3为半径的圆. (2)
【解析】
【分析】
（1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论；
（2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】（1）由（为参数），消去参数得，
故曲线的普通方程为.
曲线的轨迹是以为圆心，3为半径的圆.
（2）由，展开得，
的直角坐标方程为.
则圆心到直线的距离为，
则，解得.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用，
重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
23.设函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集；
（2）因为，得，再利用绝对值定义，去掉绝对值号，即可求解．
【详解】（1）因为，
所以的解集为.
（2）因为，所以，
即，则，
所以.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．