【物理】2018届二轮复习天体和卫星的运行学案（全国通用） 8页

2. 天体和卫星的运行 一、基础知识回顾 1．卫星的绕行速度 v、角速度ω、周期 T 与轨道半径 r 的关系 (1)由 GMm r2 ＝mv2 r，得 v＝ GM r ，则 r 越大，v 越小． (2)由 GMm r2 ＝mω2r，得ω＝ GM r3 ，则 r 越大，ω越小． (3)由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，得 T＝2π r3 GM，则 r 越大，T 越大． 2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是 人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：GMm R2 ＝mv2 R. 3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是 24 h，同步卫星 只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的． 二、知识规律 (1)一条黄金代换：GM＝gR2. (2)两条基本思路． ①天体附近：GMm R2 ＝mg. ②环绕卫星：GMm r2 ＝mv2 r ＝mrω2＝mr(2π T )2. (3)两类卫星． ①近地卫星：GMm R2 ＝mg＝mv2 R. ②同步卫星：G Mm R＋h2 ＝m(R＋h)(2π T )2(T＝24 h)． (4)双星：Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2 r1＋r2＝L 考向 1 卫星的 a、v、ω、T 与半径 r 的关系 [例 1] (多选)卫星 A、B 的运行方向相同，其中 B 为 近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A 在同一直线 上)，已知地球半径为 R，卫星 A 离地心 O 的距离是卫星 B 离地心的距离的 4 倍，地球表面重力加速度为 g，则( ) A．卫星 A、B 的运行周期的比值为TA TB ＝4 1 B．卫星 A、B 的运行线速度大小的比值为vA vB ＝1 2 C．卫星 A、B 的运行加速度的比值为aA aB ＝1 4 D．卫星 A、B 至少经过时间 t＝16π 7 R g，两者再次相距最近 解析 由地球对卫星的引力提供向心力 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 知 T＝ 2π r3 GM∝ r3，而 rA＝4rB，所以卫星 A、B 的运行周期的比值为TA TB ＝ 8 1，A 项错误；同理，由 GMm r2 ＝m v2 r得 v＝ GM r ∝ 1 r ，所以卫星 A、B 的运行线速度大小的比值为vA vB ＝1 2，B 项正确；由 GMm r2 ＝ma 得 a＝GM r2 ∝ 1 r2，所以卫星 A、B 的运行加速度的比值为aA aB ＝ 1 16，C 项错误；由 T＝ 2π r3 GM及地球表面引力等于重力大小 GMm R2 ＝mg 知 T＝2π r3 gR2， 由于 B 为近地卫星，所以 TB＝2π R g，当卫星 A、B 再次相距最近时， 卫星 B 比卫星 A 多运行了一周，即 2π TB －2π TA t＝2π，联立可得 t＝ 16π 7 R g，D 项正确． 答案 BD 考向 2 宇宙速度 [例 2] 一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径 缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比( ) A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的 4 倍 B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的 2 倍 C．星球的第一宇宙速度增大到原来的 4 倍 D．星球的第一宇宙速度增大到原来的 2 倍 解析 忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式 GMm R2 ＝mg，该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变， 所以同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的 16 倍，故 A、B 错误；第一宇宙速度是近星的环绕速度，根据万有引力提供向心力， 列出等式，有GMm R2 ＝mv2 R ，解得 v＝ GM R ，该星球的直径缩小到原来的 四分之一，若收缩时质量不变，所以星球的第一宇宙速度增大到原来 的 2 倍，故 C 错误、D 正确． 答案 D 解答卫星问题的三个关键点 1．若卫星做圆周运动：根据 GMm r2 ＝mv2 r＝mω2r＝m4π2 T2 r＝ma 分析， 可得：v＝ GM r ∝ 1 r、ω＝ GM r3 ∝ 1 r3、T＝ 4π2r3 GM ∝ r3、a ＝GM r2 ∝1 r2，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”． 2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可 根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律 分析计算卫星的周期． 3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系， 注意黄金代换公式 GM＝gR2 的灵活应用． 三、针对训练 1．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两 点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半 径的 6.6 倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实 现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析：选 B.万有引力提供向心力，对同步卫星有： GMm r2 ＝mr4π2 T2 ，整理得 GM＝4π2r3 T2 当 r＝6.6R 地时，T＝24 h 若地球的自转周期变小，轨道半径最小为 2R 地 三颗同步卫星 A、B、C 如图所示分布 则有4π2 6.6R 地 3 T2 ＝4π2 2R 地 3 T′2 解得 T′≈T 6＝4 h．选项 B 正确． 2． 2016 年 11 月 22 日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三 号丙运载火箭成功将天链一号 04 星送入太空，天链一号 04 星是我国 的第四颗地球同步卫星数据中继卫星．设地球的质量为 M，自转角速 度为ω，引力常量为 G，则( ) A．天链一号 04 星的轨道只能是椭圆，不可能是圆 B．月球绕地球运动的角速度比天链一号 04 星绕地球运行的角速 度大 C．天链一号 04 星的角速度为ω，线速度为 3 GMω D．相同质量的同步卫星比近地卫星机械能小 解析：选 C.A.天链一号 04 星的轨道只能是圆，不可能是椭圆， 否则不可能与地球自转同步，故选项 A 错误；B.因同步卫星的周期为 24 小时，月球绕地球运行的周期为 27 天，由公式ω＝2π T 可知，天 链一号 04 星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大，故 选项 B 错误；C.根据万有引力提供向心力有 GMm r2 ＝mω2r，解得天链一 号 04 星的轨道半径 r＝ 3 GM ω2 ，则线速度 v＝ωr＝ 3 GM ω2·ω＝ 3 GMω，故选项 C 正确；D.要将卫星发射到较高的轨道，发射时需要 更多的能量，故卫星的高度越大，机械能就越大，即相同质量的同步 卫星的机械能大，故选项 D 错误． 3．(多选)2017 年 4 月 12 日 19 时 04 分，我国实践十三号卫星 在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭成功发射．这是我国首颗 高通量通信卫星，通信总容量达 20 Gbps，超过我国已发射的通信卫 星容量总和．假设这颗卫星运行在同步轨道(卫星的轨道半径是地球 半径的 n 倍)上，由此可知( ) A．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的1 n2 B．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的1 n C．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的1 n2 D．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的 1 n 解析：选 AD.卫星运行在轨道半径是地球半径 n 倍的圆形轨道上， 所受万有引力 F＝G mM nR 2，F＝ma，在地球表面，m0g＝Gm0M R2 ，联立解 得a g＝1 n2，选项 A 正确、B 错误；由 G mM nR 2＝mv2 nR，GM＝gR2，解得 v ＝ gR n ，第一宇宙速度 v1＝ gR，v v1 ＝ 1 n ，选项 C 错误、D 正确．