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- 2021-04-21 发布
第
2
讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列
高考定位
高考对本内容的考查主要有：
(1)
分类加法计数原理、分步乘法计数原理，
B
级要求
.(2)
排列与组合，
B
级要求
.(3)
数学归纳法的简单应用，
B
级要求；
(4)
n
次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，
B
级要求
.
真 题 感 悟
(2014·
江苏卷
)
盒中共有
9
个球，其中有
4
个红球、
3
个黄球和
2
个绿球，这些球除颜色外完全相同
.
(1)
从盒中一次随机取出
2
个球，求取出的
2
个球的颜色相同的概率
P
；
(2)
从盒中一次随机取出
4
个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为
x
1
，
x
2
，
x
3
，随机变量
X
表示
x
1
，
x
2
，
x
3
中的最大数，求
X
的概率分布和数学期望
E
(
X
).
4.
数学归纳法
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基
(
或递推基础
)
，证明当
n
取第一个值
n
0
(
n
0
∈
N
*
)
时命题成立，第二步是归纳递推
(
或归纳假设
)
，假设
n
＝
k
(
k
≥
n
0
，
k
∈
N
*
)
时命题成立，证明当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可
.
热点一 与计数原理有关的问题
探究提高
此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算
.
【训练
1
】
(2015·
南通调研
)
记
1
，
2
…
，
n
满足下列性质
T
的排列
a
1
，
a
2
…
，
a
n
的个数为
f
(
n
)(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
).
性质
T
：排列
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
中有且只有一个
a
i
＞
a
i
＋
1
(
i
∈
{1
，
2
，
…
，
n
－
1}).
(1)
求
f
(3)
；
(2)
求
f
(
n
).
热点二 数学归纳法的应用
【例
2
】
(2015·
江苏卷
)
已知集合
X
＝
{1
，
2
，
3}
，
Y
n
＝
{1
，
2
，
3
，
…
，
n
}(
n
∈
N
*
)
，设
S
n
＝
{(
a
，
b
)|
a
整除
b
或
b
整除
a
，
a
∈
X
，
b
∈
Y
n
}
，令
f
(
n
)
表示集合
S
n
所含元素的个数
.
(1)
写出
f
(6)
的值；
(2)
当
n
≥
6
时，写出
f
(
n
)
的表达式，并用数学归纳法证明
.
探究提高
在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可
.
在较复杂的式子中，注意由
n
＝
k
到
n
＝
k
＋
1
时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项
.
同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法
.
热点三 随机变量的分布列及其数学期望
探究提高
求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算
.
1.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘
.
2.
数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题
.
通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用
.
3.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
.
4.
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是
“
判断取值
”
，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是
“
探求概率
”
，即利用排列组合、枚举法、概率公式
(
常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式
)
等，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是
“
写分布列
”
，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是
“
求期望值
”
，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
.