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- 2021-04-21 发布
2018-2019学年甘肃省武威第十八中学高二上学期期末模拟数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知条件，条件，则是的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2. 已知命题，其中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
3. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知空间向量若,若与垂直，则等于 ( )
A. B. C. D.
6. 若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B． C． D．
7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A． B． C． D．
8．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
9. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）
A．渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
B．抛物线的准线方程是
C．等轴双曲线的离心率是
D．椭圆的焦点坐标
10．若椭圆与直线交于两点,过原点与线段中点的直线的斜率为错误！未找到引用源。,则的值为( )
A.2 B. C. D.
11. 直线与曲线交点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 已知，分别为 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿。
14. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为___ _______。
15．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__ ______时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知双曲线与椭圆有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程。
18．（本小题满分12分）
已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.
19. （本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，
，点是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面.
20．（本题满分12分）
已知抛物线过点。
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于(为坐标原点)的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
21.（本题满分12分）
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点、，点满足，其中、，且
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹与椭圆交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆实轴长的取值范围.
22．(本题满分12分)
设分别为椭圆)的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果，求椭圆的方程．
高二数学答案（理科）
一、 选择题BCDAD CABCC DB
二、 填空题13、；14、；15、错误！未找到引用源。；16、DM⊥PC(或BM⊥PC)
三、 解答题
17. 解析：椭圆＋＝1的焦点为(0，±)，离心率为e1＝.
由题意可知双曲线的焦点为(0，±)，
离心率e2＝，所以双曲线的实轴长为6.
所以双曲线的方程为－＝1.
18. 解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
19. 解法一：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC⊥BC.
又∵CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥AC.
∵CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE.
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.
解法二： ∵直三棱柱底面三边长
∴两两垂直．
如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)．
(1)∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，∴·＝0，∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2)．∵＝(－，0,2)，＝(－3,0,4)，
∴＝，∴∥.∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.
20. 解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA到l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.
因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
21. 解：（1）设，则，∴，，∴点的轨迹方程是.
（2）设交点A，B的坐标为，，由于以AB为直径的圆过原点O，则，∴，即.由得：，∴，
，整理得；所以，为定值.
（3）由于，及得：
由于，是关于的函数并且是增函数，∴
所以，椭圆的长轴取值范围是
22. 解(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)F2(c,0)∵kl＝tan60°＝
∴l的方程为y＝(x－c)即：x－y－c＝0
∵F1到直线l的距离为2
∴＝＝c＝2∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0直线l的方程为y＝(x－2)
由得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0
由韦达定理可得 ∵＝2 ∴－y1＝2y2，代入得
由上式可得得＝·＝ ①
又a2＝b2＋4 ②
由①②,解得a2＝9, b2＝5∴椭圆C的方程为＋＝1。