2018届二轮复习空间几何体：第3节空间几何体的直观图学案（全国通用） 5页

第 3 节 空间几何体的直观图 【基础知识】 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对 应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°或 135°，已知图形中平行 于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x′轴、y′轴．已知图形中平行于 x 轴的线段，在 直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于 x′O′y′平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变． 【规律技巧】 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： S 直观图＝ 2 4 S 原图形，S 原图形＝2 2S 直观图． 【典例讲解】 例 1、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形， 则原来的图形是(　　) 【解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图形为平 行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2. 【答案】A 【特别提醒】 利用斜二测画法时，注意原图与直观图中的“三变、三不变”即 “三变”Error! “三不变”Error! 【变式探究】 等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴， 则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________． 【解析】∵OE＝  22－1＝1，∴O′E′＝1 2，E′F＝ 2 4 . ∴直观图 A′B′C′D′的面积为 S′＝1 2×(1＋3)× 2 4 ＝ 2 2 . 【答案】 2 2 【针对训练】 1、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面 积等于(　　)． A. 2 4 a2 B．2 2a2 C. 2 2 a2 D.2 2 3 a2 【答案】2 2a2 2、在如图所示的直观图中，四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm，则在 xOy 坐标系中， 四边形 ABCO 为________，面积为________ cm2. 【答案】矩形　8 【解析】由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在 xOy 坐标系中，四边形 ABCO 是一个长为 4 cm，宽为 2 cm 的矩形，所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2. 3、利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正 方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 【答案】①②④ 4、已知平面△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形，则原△ABC 的面积 为 ． 【答案】 【解析】　如图所示，△A′B′C′是边长为 a 的正三角形，作 C′D′∥A′B′交 y′轴于点 D′，则 D′ 到 x′轴的距离为 3 2 a， ∵∠D′A′B′＝45°， ∴A′D′＝ 6 2 a， 由斜二测画法的法则知， 在△ABC 中，AB＝A′B′＝a，AB 边上的高是 A′D′的二倍，即为 6a，∴S△ABC＝1 2a· 6a＝ 6 2 a2. 5、已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为 ________． 【答案】 6 16 a2 综合点评： 6、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯 形，那么原平面图形的面积是(　　) A．2＋ 2　　　　　　　B.1＋ 2 2 C.2＋ 2 2 　 D．1＋ 2 2 2 6 a 【答案】A 　　 【练习巩固】 1．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(　　) 【解析】由题意知应为 D. 【答案】D 2.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【解析】根据斜二测画法知△ABC 为直角三角形，B 正确． 答案：B 3、如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm， O′C′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四 边形 【答案】C 4、利用斜二测画法得到的： ①正方形的直观图一定是菱形 ②菱形的直观图一定是菱形 ③三角形的直观图一定是三角形 以上结论正确的是________． 【答案】③ 【解析】①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确． 5、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯 形，那么原平面图形的面积是 . 【答案】2＋ 2 【解析】恢复后的原图形为一直角梯形，S＝1 2(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.