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- 2021-04-21 发布
福建师大二附中2016—2017学年第一学期高三年期中考
数 学 试 卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列函数中，值域为的函数是
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，则等于
A． B． C． D．
3．“”是“关于的方程有实数根”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
5.已知的最小值为（ ）
A． B． C．-1 D．0
6．已知满足则的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2 014项的和S2 014为( )
A．669 B．671
C．1 338 D．1 343
8．若直线过曲线的对称中心，则的最小值为
A． B． C． D．6
9．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．在数列中，，且，，若数列满足，则数列是
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
x
y
o
-2
12． 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示. （ ）
则平面区域所围成的面积是
A．2 B．4 C．5 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ．
14．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
15．对于数列，如果存在各项均为正整数的等差数列和各项均为正整数的等比数列，使得，则称数列为“DQ数列”．已知数列是“DQ数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则 ．
16．设是函数的导函数，且．现给出以下四个命题：
①若是奇函数，则必是偶函数； ②若是偶函数，则必是奇函数；
③若是周期函数，则必是周期函数；④若是单调函数，则必是单调函数．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
已知函数的图象过点（，0）.
（I）求实数的值以及函数的单调递增区间；
（II）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.
18. (本小题满分12分)
已知等比数列的前项和为，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＋cos2C＝1.
(1)求角C的大小；
(2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝(a，－)，m⊥n，(m＋n)·(m－n)＝16，求a，b，c的值．
20. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．
21．(本小题满分12分)
为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．
22．(本小题满分14分)
已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若的最小值为0，回答下列问题：
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求.
参考答案
1．A； 2．B； 3．A； 4．A；5．D；6．A；7．D；8．C；9．A；10．C．11。C 12。B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．
13．4/3； 14． － ； 15． ； 16．①．
17．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．
解法一：（I）
． ……………………3分
因为的图象过点（，0），所以，解得. ………5分
所以，由，得，.
故的单调递增区间是，. ……………7分
（Ⅱ）由（I）得，.
所以 ……………9分
． ……………12分
所以（）. ……………13分
解法二：
(Ⅰ)因为函数的图象过点（，0），所以.
又
. ………………3分
所以，解得. ………………5分
以下同解法一.
（II）由（I）得.
所以 ……………9分
. ………………12分
所以（）. ………………13分
18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由 得 ……………………………………………………2分
解得 …………………………………………………………………………………………………4分
所以．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ），…………………………………………8分
所以
………………………………………………9分
．………………………………………………………………………12分
19.解 (1)∵2sin2＋cos2C＝1，
∴cos2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cosC，
∴2cos2C＋cosC－1＝0，
∴cosC＝或cosC＝－1，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵m⊥n，∴3a2－＝0，即b2＝9a2.①
又(m＋n)·(m－n)＝16，
∴8a2＋＝16，即a2＋＝2，②
由①②可得a2＝1，b2＝9，∴a＝1，b＝3，
又c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，
∴c＝，∴a＝1，b＝3，c＝.
20.解：（Ⅰ）当时，。
当时，，
所以，即， ………………4分
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故. ………………6分
（Ⅱ）令，
，…………① ………………8分
①×，得，…………②
①－②，得，整理，得， ………………10分
又令，则，所以，
故，所以. ………………12分
21.
【答案】（1）， （2）隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元
22．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．
解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．……………1分
当时，，所以在区间内单调递增；…………………2分
当时，由，解得；由，解得．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………3分
综上述：时，的单调递增区间是；
时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；……………………………5分
当时，…………………………………6分
令，则，
由，解得；由，解得．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
故，即当且仅当x=1时，=0.
因此，．………………………………………8分
（ⅱ）因为，所以.
由得于是．因为，所以.
猜想当，时，．……………………………………10分
下面用数学归纳法进行证明．
①当时，，故成立．………………………………11分
②假设当n=k(，)时，不等式成立.
则当n=k+1时，，
由（Ⅰ）知函数在区间单调递增，
所以，又因为，
．
故成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当，时，不等式成立．…………………………13分
因此，=…………………………………14分