2016年北京市丰台区高考一模数学理 14页

2016 年北京市丰台区高考一模数学理 一.选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项. 1. 已知全集 U=R，集合 A={x|x≤-2 或 x≥3}，B={x|x＜-1 或 x＞4}，那么集合( ð UA)∩B 等 于( ) A.{x|-2≤x＜4} B.{x|-2＜x＜3} C.{x|-2＜x＜-1} D.{x|-2＜x＜-1 或 3＜x＜4} 解析：集合 A={x|x≤-2 或 x≥3}， ∴ ð UA={x|-2＜x＜3}， B={x|x＜-1 或 x＞4}， ∴( ð UA)∩B={x|-2＜x＜-1}， 答案：C. 2. 在下列函数中，是偶函数，且在(0，+∞)内单调递增的是( ) A.y=2|x| B.y＝ 2 1 x C.y=|lgx| D.y=cosx 解析：A.y=2|x|，显然该函数为偶函数；x∈(0，+∞)时，y=2x 为增函数，∴该选项正确； B.y＝ 2 1 x ，x∈(0，+∞)时，y=x2 为增函数；∴x 增大时， 2 1 x 减小，即 y 减小； ∴该函数在(0，+∞)上为减函数，∴该选项错误； C.y=|lgx|的定义域为(0，+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误； D.y=cosx 在(0，+∞)上没有单调性，∴该选项错误. 答案：A. 3. 对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图.根据直方图估 计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过 80km/h 的概率( ) A.75，0.25 B.80，0.35 C.77.5，0.25 D.77.5，0.35 解析：由频率分布直方图， 得在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5， 行驶速度超过 80km/h 的概率： p=(0.05+0.02)×5=0.35. ∴估计在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5，行驶速度超过 80km/h 的概率为 0.35. 答案：D. 4. 若数列{an}满足 an+1＝2an(an≠0，n∈N*)，且 a2 与 a4 的等差中项是 5，则 a1+a2+…+an 等于 ( ) A.2n B.2n-1 C.2n-1 D.2n-1-1 解析：数列{an}满足 an+1＝2an(an≠0，n∈N*)，可知数列是等比数列，公比为：2， a2 与 a4 的等差中项是 5，可得 a2(1+q2)=10，解得 a2=2，a1=1. a1+a2+…+an= 12 12 n  =2n-1. 答案：B. 5. 已知直线 m，n 和平面α，若 n⊥α，则“m  α”是“n⊥m”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：∵n⊥α，若“m  α”，则“n⊥m”.反之不成立，可能 m∥α. ∴n⊥α，则“m  α”是“n⊥m”的充分不必要条件. 答案：A. 6. 有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( ) A.72 B.54 C.48 D.8 解析：用分步原理： 第一步：把每一对师徒看成一整体，共有 3×2=6 种方法； 第二步：每对师徒都有两种站法共有 2×2×2=8 种； ∴总的方法为 6×8=48 种. 答案：C. 7. 如图，已知三棱锥 P-ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面 PAB⊥底面 ABC， AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x，y，z 分别是( ) A.2 3 ，2 2 ，2 B.4，2，2 2 C.2 ，2，2 D.2 ，2，2 解析：∵三棱锥 P-ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， 侧面 PAB⊥底面 ABC，AB=PA=PB=4； ∴x 是等边△PAB 边 AB 上的高，x=4sin60°=2 ， y 是边 AB 的一半，y= 1 2 AB=2， z 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的中线，z= 1 2 AB=2； ∴x，y，z 分别是 2 ，2，2. 答案：C. 8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品 数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下， 市场会自发调解供求关系：当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时，需求量大于供应量，价格会 上升为 P2；当产品价格 P2 高于均衡价格 P0 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如 此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是( ) A. B. C. D. 解析：∵当产品价格 P1 低于均衡价格 P0 时，需求量大于供应量， ∴排除 B、C； 且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢， 故排除 A. 答案：D. 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 已知双曲线 22 22 xy ab ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为 y＝ 3 x，那么双曲线的离心率为 _____. 解析：双曲线 x2 a2 -y2 b2 =1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y=b a x， 由题意可得 b a = 3 ， 即为 b= 3 a， c= 22ab =2a， 可得 e= c a =2. 答案：2. 10. 如图，BC 为⊙O 的直径，且 BC=6，延长 CB 与⊙O 在点 D 处的切线交于点 A，若 AD=4， 则 AB=_____. 解析：设 AB=x，则 AC=AB+BC=x+6， 根据切割线定理，AD2=AB·AC， ∴16=x(x+6)， 即 x2+6x-16=0， 解得 x=2，或 x=-8(舍去). 答案：2. 11. 在△ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 3bsinA=ccosA+acosC，则 sinA=_____. 解析：在△ABC 中，∵3bsinA=ccosA+acosC， 由正弦定理可得：3sinBsinA=sinCcosA+sinAcosC， ∴3sinBsinA=sin(A+C)=sinB， ∵sinB≠0，∴sinA= 1 3 . 答案： 1 3 . 12. 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD，E 为 BC 中点，若 AE ＝x AB +y AD ，则 x+y=_____. 解析：由题意作图如右图， ∵AB∥CD，AB=2CD，∴ DC = 1 2 AB ， ∵E 为 BC 中点， ∴ AE = 1 2 ( AC + AB )= 1 2 ( AD + DC + AB ) = 1 2 ( + + )= 1 2 AD + 3 4 AB ， 又∵ ＝x +y ， ∴x= 1 2 ，y= 3 4 ， 故 x+y= 5 4 . 答案： . 13. 已知 x，y 满足 0 . x yx x y k       (k 为常数)，若 z=x+2y 最大值为 8，则 k=_____. 解析：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 yx xyk    ＝ ＝ ，解得 A( 2 k ， 2 k )， 将 z=x+2y 转化为：y=- 1 2 x+ 2 z ， 显然直线过 A( ， )时，z 最大， z 的最大值是： +k=8，解得：k=16 3 . 答案： . 14. 已知函数 f(x)＝ 1 1 () ()1 xx xx  ＞ . 若 f(x)＞f(x+1)，则 x 的取值范围是_____. 解析：先画出 f(x)的图象，如实线部分， 再把函数 f(x)的图象向左平移一个单位得到 f(x+1)的图象，如虚线部分， 若 f(x)＞f(x+1)，由图象可知 0＜x≤1， 故 x 的取值范围为(0，1]. 答案：(0，1]. 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数 f(x)＝cosx(cosx+ 3 sinx). (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期； (Ⅱ)当 x∈[0， 2  ]时，求函数 f(x)的单调递减区间. 解析：(Ⅰ)有条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得结 论. (Ⅱ)令 2kπ+ 2  ≤2x+ 6  ≤2kπ+ 3 2  ，k∈Z，求得 x 的范围，可得函数的单调减区间，再结 合 x∈[0， 2  ]，得出结论. 答案：(Ⅰ)∵f(x)＝ sinxcosx+cos2xf(x)＝ 3 2 sin2x+ 1 2 2cos x f(x)＝( sin2x+ )， ∴f(x)＝sin(2x+ 6  )+ 1 2 ，故 T＝ 2 ||   ＝ 2 2  ＝π，即 f(x)的最小正周期为π. (Ⅱ)令 2kπ+ 2  ≤2x+ 6  ≤2kπ+ 3 2  ，k∈Z，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ 2 3  ， 即 f(x)的递减区间为：[kπ+ 6  ，kπ+ 2 3  ]，k∈Z. 再结合 x∈[0， 2  ]，由[0， 2  ]∩[kπ+ ，kπ+ ]=[ ，+ 2  ]，k∈Z， 所以 f(x)的递减区间为[ ， 2  ]. 16. 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血， 并将血样分成 4 组，每组血样混合在一起进行化验. (Ⅰ)若这些人中有 1 人感染了病毒. ①求恰好化验 2 次时，能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X，求 E(X). (Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y)， 请指出(Ⅰ)②中 E(X)与 E(Y)的大小关系.(只写结论，不需说明理由) 解析：(Ⅰ)①由已知能求出恰好化验 2 次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率. ②确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X 的可能取值为 1，2，3，分别求出相应的概率， 由此能求出 X 的分布列和 E(X). (Ⅱ)由题意得 E(X)＜E(Y). 答案：(Ⅰ)①恰好化验 2 次时，就能够查出含有病毒血样的组为事件 A， 由题意得 P(A)= 3 4 4 1 =3 1 . 恰好化验 2 次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率为 1 4 . ②确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X 的可能取值为 1，2，3， P(X=1)= 1 4 ， P(X=2)= ， P(X=3)= 311321 1=4324 1 232   . 则 X 的分布列为： 所以：E(X)=1× +2× +3× 1 2 ＝ 9 4 . (Ⅱ)E(X)＜E(Y). 17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，且∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 相交 于 O；OF⊥平面 ABCD，BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证：EF∥BC； (Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值. 解析：(Ⅰ)证明 AD∥BC，即可证明 BC∥面 ADEF，然后证明 EF∥BC. (Ⅱ)以 O 为坐标原点，OA，OB，OF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取 CD 的中点 M，连 OM，EM.易证 EM⊥平面 ABCD.求出设面 BCFE 的法向量，设 DF 与 0n 所成角为 φ，直线 DE 与面 BCEF 所成角为θ.通过 sinθ=|cosφ|，求解直线 EF 与平面 BCEF 所成角 的正弦值即可. 答案：(Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AD∥BC，且 BC  面 ADEF，AD  面 ADEF 所以 BC∥面 ADEF 且面 ADEF∩面 BCEF=EF 所以 EF∥BC. (Ⅱ)因为 FO⊥面 ABCD 所以 FO⊥AO，FO⊥OB 又因为 OB⊥AO 以 O 为坐标原点，OA，OB，OF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 取 CD 的中点 M，连 OM，EM.易证 EM⊥平面 ABCD. 又因为 BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：B(0，1，0)，C(- 3 ，0，0)，D(0，-1，0)， F(0，0， 3 )，E(- 3 2 ，- 1 2 ， 3 ) 向量 DE ＝(- ， ， )，向量 BC ＝(- ，-1，0)，向量 BF ＝(0，-1， ) 设面 BCFE 的法向量为： 0n ＝(x0，y0，z0)， 0 0 0 0 BC BF n n     ＝ ＝ ，得到 00 00 30 30 xy yz    ＝ ＝ 令 y0＝ 3 时 ＝(-1， 3 ，1) 设 DF 与 所成角为φ，直线 DE 与面 BCEF 所成角为θ.sinθ=|cosφ|= 0 0 · | · | || n D DEn E            2 22222 311331 ?22 15 53131? || 1 2 3?2      直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 15 5 . 18. 已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求证：f(x)≥x-1； (Ⅲ)若 f(x)≥ax2+ 2 a (a≠0)在区间(0，+∞)上恒成立，求 a 的最小值. 解析：(Ⅰ)设切线的斜率为 k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程. (Ⅱ)要证：f(x)≥x-1，需证明：g(x)=xlnx-x+1≥0 在(0，+∞)恒成立，利用函数的导数， 通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可. (Ⅲ)要使：xlnx≥ax2+ 2 a 在区间在(0，+∞)恒成立，等价于：h(x)＝lnx-ax- 2 ax ≥0 在(0， +∞)恒成立，利用函数的导数，通过①当 a＞0 时，利用 h(1)＜0，说明 a＞0 不满足题意. ②当 a＜0 时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可. 答案：(Ⅰ)设切线的斜率为 k，f′(x)=lnx+1，k=f′(1)=ln1+1=1 因为 f(1)=1·ln1=0，切点为(1，0). 切线方程为 y-0=1·(x-1)，化简得：y=x-1. (Ⅱ)要证：f(x)≥x-1 只需证明：g(x)=xlnx-x+1≥0 在(0，+∞)恒成立，g′(x)=lnx+1-1=lnx 当 x∈(0，1)时 f′(x)＜0，f(x)在(0，1)上单调递减； 当 x∈(1，+∞)时 f′(x)＞0，f(x)在(1，+∞)上单调递增； 当 x=1 时 g(x)min=g(1)=1·ln1-1+1=0g(x)=xlnx-x+1≥0 在(0，+∞)恒成立 所以 f(x)≥x-1. (Ⅲ)要使：xlnx≥ax2+ 2 a 在区间在(0，+∞)恒成立， 等价于：lnx≥ax+ 2 ax 在(0，+∞)恒成立， 等价于：h(x)＝lnx-ax- 2 ax ≥0 在(0，+∞)恒成立 因为 h′(x)＝ 1 x -a+ 2 2 ax = 22 2 2a x ax ax    = 2 2 12axx aa ax  ①当 a＞0 时，h(1)＝ln1-a- 2 a ＜0，a＞0 不满足题意 ②当 a＜0 时，令 h′(x)=0，则 x＝ 1 a 或 x＝ 2 a (舍). 所以 x∈(0， )时 h′(x)＜0，h(x)在(0， )上单调递减；x∈( ，+∞)时， h′(x)＞0，h(x)在( ，+∞)上单调递增； 当 x＝ 时 h(x)min＝h( )＝ln( )+1+2 当 ln( )+3≥0 时，满足题意 所以-e3≤a＜0，得到 a 的最小值为-e3 19. 已知椭圆 G： 22 22 xy ab ＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，短半轴长为 1. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程； (Ⅱ)设椭圆 G 的短轴端点分别为 A，B，点 P 是椭圆 G 上异于点 A，B 的一动点，直线 PA，PB 分别与直线 x=4 于 M，N 两点，以线段 MN 为直径作圆 C. ①当点 P 在 y 轴左侧时，求圆 C 半径的最小值； ②问：是否存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径， 并证明你的结论；若不存在，说明理由. 解析：(Ⅰ)由椭圆的离心率为 ，短半轴长为 1，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭 圆的方程. (Ⅱ)①设 P(x0，y0)，A(0，1)，B(0，-1)，直线 PA 的方程为：y-1＝ 0 0 1y xx  ，从而 yM＝  0 0 41 1y x   ，同理 yN＝  0 0 41 1y x   ，进而|MN|＝|2- 0 8 x |，由此能求出圆 C 半径的最 小值. ②当 P 在左端点时，圆 C 的方程为：(x-4)2+y2=9；当 P 在右端点时，设 P(2，0)，A(0，1)， B(0，-1)，yM=-1，同理得到 yN=1，圆 C 的方程为：(x-4)2+y2=1，由此能求出存在一个圆心 在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为(2，0)和半径 R=1. 答案：(Ⅰ)因为 22 22 xy ab ＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，短半轴长为 1. 所以 222 2 1 3 b c a a b c      ＝ ＝ ＝ ，得到 1 3 2a b c      ＝ ＝ ＝ ， 所以椭圆的方程为 2 2 4 x y ＝1. (Ⅱ)①设 P(x0，y0)，A(0，1)，B(0，-1) 所以直线 PA 的方程为：y-1＝ 0 0 1y xx  令 x=4，得到 yM＝  0 0 4 1 1y x   ， 同理得到 yN＝  0 0 41 1y x   ，得到|MN|＝|2- 0 8 x | 所以，圆 C 半径 r＝|1- 0 4 x |(-2≤x0＜0) 当 x0=-2 时，圆 C 半径的最小值为 3. ②当 P 在左端点时，圆 C 的方程为：(x-4)2+y2=9 当 P 在右端点时，设 P(2，0)，A(0，1)，B(0，-1) 所以直线 PA 的方程为：y-1＝ 1 2 x 令 x=4，得到 yM=-1 同理得到 yN=1， 圆 C 的方程为：(x-4)2+y2=1， 由意知与定圆(x-2)2+y2=1 相切，半径 R=1 由前一问知圆 C 的半径 r＝|1- |＝ 0 0 0 0 41 2 0 4 02 xx xx         -1 ， ＜ ，＜ 因为 yM＝ ，yN＝ ，圆 C 的圆心坐标为(4， 0 0 4 y x ) 圆心距 d＝   2 02 0 2 00 2 000 0 0 20 16 1 44 442 4 4 4 ? 02 x xxy xxx xx             ， ＜ ，＜ 当-2≤x0＜0 时，d＝r-R＝(1- 0 4 x )-1＝- 0 4 x ，此时定圆与圆 C 内切； 当 0＜x0≤2 时，d＝r+R＝( 0 4 x -1)+1＝ 0 4 x ，此时定圆与圆 C 外切； 存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为(2，0)和半径 R=1. 20. 已知数列{an}是无穷数列，a1=a，a2=b(a，b 是正整数)， 11 1 1 1 ( 1 )1 () nn nn n nn nn aa aaa aa aa          ＞ ， ＝ . (Ⅰ)若 a1=2，a2=1，写出 a4，a5 的值； (Ⅱ)已知数列{an}中 ak＝1(k∈N*)，求证：数列{an}中有无穷项为 1； (Ⅲ)已知数列{an}中任何一项都不等于 1，记 bn=max{a2n-1，a2n}(n=1，2，3，…；max{m，n} 为 m，n 较大者).求证：数列{bn}是单调递减数列. 解析：(Ⅰ)利用递推关系即可得出. (Ⅱ)ak＝1(k∈N*)，假设 ak+1=m，对 m 分类讨论，利用已知递推关系即可证明. (Ⅲ)由条件可知 an＞1(n=1，2，3，… ).由于{an}中任何一项不等于 1，可得 an≠an+1(n=1，2， 3，…).分类讨论：①若 a2n-1＞a2n，则 bn=a2n-1.②若 a2n-1＜a2n，则 bn=a2n.再利用递推关系即可 证明. 答案：(Ⅰ)∵a1=2，a2=1， ∴a2 a1 =1 2 ＜1，∴a3=a1 a2 =2. 同理可得：a4=a3 a2 =2，a5=a3 a4 =1. (Ⅱ)ak＝1(k∈N*)，假设 ak+1=m， ①当 m=1 时，依题意有 ak+2=ak+3=…=1， ②当 m＞1 时，依题意有 ak+2=m，ak+3=1， ③当 m＜1 时，依题意有 ak+2＝ 1 m ，ak+3＝ 2 1 m ，ak+4＝ 1 m ，ak+5＝ 1 m ，ak+6=1. 由以上过程可知：若 ak＝1(k∈N*)，在无穷数列{an}中，第 k 项后总存在数值为 1 的项，以 此类推，数列{an}中有无穷项为 1. (Ⅲ)证明：由条件可知 an＞1(n=1，2，3，…)， ∵{an}中任何一项不等于 1，∴an≠an+1(n=1，2，3，…). ①若 a2n-1＞a2n，则 bn=a2n-1. ∵a2n+1＝ 21 2 n n a a  ，∴a2n-1＞a2n+1. 若 21 2 2 n n a a  ＞1，则 a2n+2＝ 21 2 2 n n a a  ＜a2n-1，于是 a2n-1＞a2n+2； 若 ＜1，则 a2n+2＝ 2 21 2 n n n a a a  ＝ 2 21 2 n n a a  ＝ 2 21 n n a a  ·a2n＜a2n＜a2n-1，于是 a2n-1＞a2n+2； 若 ＝1，则 a2n+2=1，于题意不符； ∴a2n-1＞max{a2n+1，a2n+2}，即 bn＞bn+1. ②若 a2n-1＜a2n，则 bn=a2n. ∵a2n+1＝ ，∴a2n＞a2n+1； ∵a2n+2＝ 2 21 n n a a  ，∴a2n＞a2n+2； ∴a2n＞max{a2n+1，a2n+2}，即 bn＞bn+1. 综上所述，对于一切正整数 n，总有 bn＞bn+1，所以数列{bn}是单调递减数列.