高考数列经典题型全面解析 6页

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 ‎ 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。‎ 例:已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知：‎ 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ‎，‎ 类型2 ‎ 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。‎ 例:已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，‎ 例:已知， ，求。‎ ‎ ‎ ‎。‎ 类型3 （其中p，q均为常数，）。‎ 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。‎ 例:已知数列中，，，求.‎ 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且 ‎.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则 ‎,所以.‎ 变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．‎ 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （,其中p，q, r均为常数） 。‎ 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。‎ 例:已知数列中，,，求。‎ 解：在两边乘以得：‎ 令，则,解之得：所以 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。‎ 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。‎ 解法一（待定系数——迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。由，得 ‎，且。‎ 则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是 ‎。‎ 把代入，得，，‎ ‎，‎ ‎。把以上各式相加，得 ‎。‎ ‎。‎ 解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。‎ ‎,。又由，于是 故 例:已知数列中，,,，求。‎ 解：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则 是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以 ‎。‎ 类型6 递推公式为与的关系式。(或)‎ 解法：这种类型一般利用与 消去 或与消去 进行求解。‎ 例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公 式.‎ 解：（1）由得：于是 所以.‎ ‎（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））‎ 的方法，上式两边同乘以得：由 ‎.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 类型7 ‎ 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ‎，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。‎ 例:设数列：，求.‎ 解：设，将代入递推式，得 ‎…（１）则,又，故 代入（１）得 说明：（1）若为的二次式，则可设 ‎;(2)本题也可由 ‎ ,（）两式相减得转化为 求之.‎ ‎【例】、已知数列满足，，则通项公式 an=3^(n-1)+a(n-1) ‎ ‎--->an-a(n-1)=3^(n-1) ‎ 同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2) ‎ ‎……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3) ‎ ‎…………………… ‎ ‎……a3-a2=3^2 ‎ ‎……a2-a1=3^1 ‎ 以上的n个等式的两边相加得到 ‎ An-a1=3+3^2+……+3^(n-1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2‎