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- 2021-02-26 发布
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2018级高一年级下学期第三次质量检测文科数学试卷
第I卷（选择题 满分60分)
一、选择题（共12题，每题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A. 简单随机抽样法 B. 抽签法
C. 随机数表法 D. 分层抽样法
【答案】D
【解析】
【分析】
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
【详解】总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：3，所抽取的比例也是16：12＝4：3．
故选：D．
【点睛】本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．
2.函数y=tan（–2x）的定义域是( )
A. {x|x≠+，k∈Z} B. {x|x≠kπ+，k∈Z}
C. {x|x≠+，k∈Z} D. {x|x≠kπ+，k∈Z}
【答案】A
【解析】
【分析】
根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域．
【详解】由题意得，y=tan（–2x）=–tan（2x–），由2x–（k∈Z）得，x≠+，k∈Z，所以函数的定义域是{x|x≠+，k∈Z}，
故选:A．
【点睛】本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．
3.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出的值，于此可得出的值。
【详解】，，
由余弦定理得，
，因此，，故选：D。
【点睛】本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题。
4.在中，如果，，，则此三角形有（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 无穷多解
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出的值，然后比较、、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【详解】由题意得，则，因此，该三角形有两解，故选：C.
【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5.已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据和的单调减区间即可得出答案。
【详解】因为和的单调减区间分别是和
，所以选择B
【点睛】本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况.
6.已知向量，且，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再利用向量垂直的坐标表示得到关于的方程，从而求出.
【详解】因为，所以，
因为，则，解得
所以答案选B.
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
7.在中，已知，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化思想得，由可得出的三边长，可判断出三角形的形状，由此可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出的值.
【详解】，，
，，，，为等腰直角三角形，.
因此，，故选：C.
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.
8.在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.
【详解】在中，由正弦定理，
由，可得，
又由，则，
即，
即，解得，
所以为等腰三角形，故选A.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.
【详解】设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，
由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.
由于，所以，或.
由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，
故选：A.
【点睛】本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.
10.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.
【详解】由流程图可知，程序输出值为：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
6
8
10
12
6
3
2
A. 变量，之间呈现负相关关系
B. 的值等于5
C. 变量，之间的相关系数
D. 由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】C
【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.
详解：由题意，根据上表可知，
即数据的样本中心为，
把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，
则，即数据的样本中心为，
由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.
点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
12.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. 60m D. 20m
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理确定的长，再求出。
【详解】，
由正弦定理得：
故选D
【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出，属于基础题。
第II卷（非选择题)
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可求出的值.
【详解】由三角函数的定义可得，故答案为：.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求余弦值，解题的关键就是三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
14.已知向量、满足：，，，则_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】，
，
，
因此，，故答案：.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
15.涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.
【详解】由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，
因此，第个个体是，故答案为：.
【点睛】本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：
（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；
（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.
16.中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】，由边角互化思想得，
即，，
由余弦定理得，，
所以，，因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，以Ox为始边作角与（） ，它们终边分别单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
（1）若，求角的值；
（2）若 ·，求．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由已知利用三角函数的定义可求，利用两角差的正切公式即可计算得解；
(2)由已知可得，进而求出，最后利用两角和的正弦公式即可计算得解．
【详解】（1）由三角函数定义得，
因为，所以，
因为，所以
（2）·，∴∴，
所以，
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.如图，在平面四边形中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）在中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在中利用正弦定理构造方程即可求得结果.
【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：
（Ⅱ） ，
在中，由正弦定理可得：，即：
解得：
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.
19.涡阳县某华为手机专卖店对市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的名市民中，随机抽取名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：
分组（岁）
频数
合计
（1）求频数分布表中、的值，并补全频率分布直方图；
（2）在抽取的这名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取人参加华为手机宣传活动，现从这人中随机选取人各赠送一部华为手机，求这人中恰有人的年龄在内的概率.
【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据分布直方图计算出第二个矩形的面积，乘以可得出的值，再由频数之和为
得出的值，利用频数除以样本容量得出第四个矩形的面积，并计算出第四个矩形的高，于此可补全频率分布直方图；
（2）先计算出人中年龄在、内的市民人数分别为、，将年龄在的位市民记为，年龄在的位市民记为、、、，记事件恰有人的年龄在内，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.
【详解】（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，解得.
频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的为，
所以补全的频率分布直方图如下图所示：
（2）由频数分布表知，在抽取的人中，年龄在内的市民的人数为，
记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为、、、.
从这人中任取人的所有基本事件为：、、、、、、、、、，共个基本事件.
记“恰有人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有个：、、、，
所以这人中恰有人的年龄在内的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图和频率分布表的应用，同时也考查了古典概型概率公式计算概率，在列举基本事件时要遵循不重不漏的基本原则，常用的是列举法，也可以利用树状图来辅助理解，考查运算求解能力，属于中等题.
20.己知，，若．
（Ⅰ）求的最大值和对称轴；
（Ⅱ）讨论在上的单调性．
【答案】(1) ;，(2) 在上单调递增，在上单调减.
【解析】
【分析】
(1)先由题意得到，再化简整理，结合三角函数性质，即可求出结果；
（2）根据三角函数的单调性，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）
所以最大值为，
由，，所以对称轴，
（2）当时，，
从而当，即时，单调递增
当，即时，单调递减
综上可知在上单调递增，在上单调减.
【点睛】本题主要考查三角函数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.
21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.
(1)请用表示,用表示;
(2)记∠BAP=θ,求的最大值.
【答案】（1）；（2）22.
【解析】
分析】
利用向量的三角形法则即可求得答案
由，，可得，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值
【详解】(1)=-.
(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,
∴∠CAP=60°+θ,
∵AB=8,AC=3,AP=2,
∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8
.
∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.
【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用方法，体现了转化的思想在解题中的应用。
22.在中，角的对边分别为,的面积是30,.
（1）求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）144；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）由同角的三角函数关系，由，可以求出的值，再由面积公式可以求出的值，最后利用平面向量数量积的公式求出的值；
（2）由（1）可知的值，再结合已知，可以求出的值，由余弦定理可以求出
的值.
【详解】（1），又因为的面积是30，所以
，因此
（2）由（1）可知，与联立，组成方程组：，解得或，不符合题意舍去，
由余弦定理可知：.
【点睛】本题考查了同角的三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理、平面向量的数量积运算,本题求，可以不求出的值也可以，计算如下：