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- 2021-04-20 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！临沐一中高2015级数学（理）学科素养测试
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.【题文】在中，已知，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
试题分析：,故选A.
考点：解三角形.
【结束】
2.【题文】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则这个三角形一定
是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：
这个三角形一定是等腰三角形,故选C.
考点：解三角形.
【结束】
3.【题文】在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．99 C．198 D． 297
【答案】B
【解析】
试题分析：,故选B.
考点：等差数列.
【结束】
4.【题文】已知等比数列满足，，则（ ）
A．64 B．81 C.128 D．243
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知可得，故选A.
考点：等比数列.
【结束】
5.【题文】钝角三角形的面积是，，，则（ ）
A．5 B． C.2 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：
,故选B.
考点：解三角形.
【结束】
6.【题文】已知等差数列中，，公差，则使前项和为
取最小值的正整数的值是
（ ）
A．4和5 B．5和6 C.6和7 D．7和8
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得 ，故前项为负数，第项为零，从第项开始为正数，故前项或前项的和最小，故选：C．
考点：等差数列.
【结束】
7.【题文】一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北
方向上，行驶千米后到达处，此时测得此山顶在西偏北方向上，仰角为，根据这些测量数据计
算（其中），则山的高度是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：,故选B.
考点：解三角形.
【结束】
8.【题文】已知-9，，，-1成等差数列，-9，，，，-1成等比数列，则的值为（ ）
A．8 B．-8 C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：,故选B.
考点：1、等差数列；2、等比数列.
【结束】
9.【题文】若是函数的两个不同的零点，且，，-2这三个数可适
当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）
A．6 B．7 C.8 D．9
【答案】D
【解析】
试题分析：不妨取由韦达定理可得，又．
考点：1、等差数列；2、等比数列；3、函数的零点；4、韦达定理.
【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列、函数的零点和韦达定理，涉及函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于中等题型.首先转化化归思想，结合零点的定义将题设转化为二次方程根的问题，再利用韦达定理建立方程组，再利用等差数列和等比数列的相关定义可得
.
【结束】
10.【题文】等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C. 1 D．3
【答案】A
【解析】
试题分析：，故选A.
考点：等比数列．
【结束】
11.【题文】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）
A．， B．，
C. ， D．，
【答案】C
【解析】
试题分析： ，又
，故选C.
考点：1、等差数列；2、等比数列.
【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列，涉及函数与不等式思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.首先结合等差数列和等比数列的相关性质，利用转化化归思想将题设条件转化和，进而
和．
【结束】
12.【题文】已知数列的前项和为，令，记数列的前项为，则
（ ）
A．-2014 B．-2013 C.-2012 D．-2011
【答案】 A
【解析】
试题分析：当时，,当时，经检验当时上式成立，综上，，又，故选A.
考点：1、数列的前项和；2、三角函数及其性质.
【方法点晴】本题主要考查数列的前项和、三角函数及其性质，涉及分类讨论思想、函数思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.首先利用分类讨论思想求出，再利用函数思想和转化化归思想将问题转化为
，从而求得所求.
【结束】
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.【题文】已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：不妨设三边依次为：．
考点：解三角形.
【结束】
14.【题文】若等比数列的各项均为正数，且，则
_________.
【答案】
【解析】
试题分析：原式．
考点：1、等比数列；2、数列的前项和；3、对数的基本运算．
【方法点晴】本题主要考查等比数列、数列的前项和及对数的基本运算，涉及特殊与一般思想、函数思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.首先根据等比数列的性质可得，再结合对数的运算性质和转化化归思想将原式转化为．
【结束】
15.【题文】设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则
_________.
【答案】
【解析】
试题分析：
．
考点：解三角形.
【结束】
16.【题文】设数列的前项和为，且，为常数列，则________.
【答案】
【解析】
试题分析：不妨设，当时，
．
考点：1、数列的前项和；2、累积法.
【方法点晴】本题主要考查数列的前项和累积法，涉及分类讨论思想、函数思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.首先利用分类讨论思想和转化化归思想，可得时，进而求得，再利用累积法可得．
【结束】
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【题文】（本小题满分10分）
设等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及使得最大的序号的值.
【答案】（1）；（2）当时，取得最大值.
【解析】
试题分析：（1）设公差为，建立方程组；（2）由（1）
时，取得最大值.
试题解析：
（1）由及，得
可解得………………3分
所以数列的通项公式为.………………5分
（2）由（1）知，.……………………8分
因为，
所以当时，取得最大值.………………7分
考点：等差数列及其性质.
【结束】
18.【题文】（本小题满分12分）
中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求出， .由正弦定理可得
；（2）由.
试题解析：（1）在中，由题意知，………………2分
又因为，所以.………………4分
由正弦定理可得.……………………6分
（2）由得.………………7分
由，得.
所以
.………………10分
因此的面积.………………12分
考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.
【结束】
19.【题文】（本小题满分12分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）易得，
；（2）由（1）知，
.
试题解析：（1）等比数列的公比，所以，.………………2分
设等差数列的公差为.因为，，所以，即.…………5分
所以.………………6分
（2）由（1）知，，，.因此.………………8分
从而数列的前项和
.………………12分
考点：1、等差数列；2、等比数列.
【结束】
20.【题文】（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，，和的等差中项为13.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设的公差为，， ；（2）由（1）知，
.
试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，………………2分
所以解得，，………………4分
所以，………………5分
，………………6分
（2）由（1）知，所以，………………9分
所以.………………12分
考点：1、等差数列；2、裂项相消法.
【结束】
21.【题文】（本小题满分12分）
已知、分别在射线、（不含端点）上运动，，在中，角，，
所对的边分别为，，．
（1）若，，依次成等差数列，且公差为2，求的值；
（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．
【答案】（1）；（2），最大值．
【解析】
试题分析：（1）易得，或．又；（2）由正弦定理可得
时，取得最大值．
试题解析： （1）∵，，成等差，且公差为，
∴，．又∵，，
∴，∴，
恒等变形得，解得或．又∵，∴．………………6分
（2）在中，，
∴，，．
∴的周长
，又∵，∴，
∴当即时，取得最大值．……………12分
考点：1、等差数列；2、解三角形；3、函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查等差数列、解三角形和函数的最值，涉及换元思想、数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题先利用换元思想可得，，再利用方程思想建立方程，从而求得．第二小题由正弦定理可得，建立函数，结合三角函数的图象与性质可得时，取得最大值．
【结束】
22.【题文】（本小题满分12分）
数列的前项和为，且，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设数列满足，其前项和为，求.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析： （1）①当时，先求出．②当时，利用可得数列是等比数列；（2）易得是等比数列；（3）化简，
再利用错位相减法求得．
试题解析： （1）①当时，，∴．………………1分
②当时，，∴，
∴数列是以为首项，公比为的等比数列；……………………2分
∴．……………………3分
（2）∵，∴，
又∵，∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴．………………6分
（3）．………………7分
，
∴．……………… 12分
考点：1、等比数列；2、等差数列；3错位相减法求和.
【方法点晴】本题主要考查等比数列、等差数列和错位相减法求和，涉及分类讨论思想、特殊与一般思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题先利用分类讨论思想可得：①当时先求出．②当时，利用可得数列是等比数列．第二小题利用构造法可得是等比数列．
【结束】