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- 2021-04-20 发布
12．1 坐标系
[知识梳理]
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
(2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.( )
(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.( )
(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．教材衍化
(1)(选修A4－4P15T4)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；
∴ρ＝.故选A.
(2)(选修A4－4P8T5)
通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换，可以把椭圆＋＝1变为圆心在原点的单位圆，求上述平移变换和伸缩变换，以及这两种变换的合成的变换．
解 先通过平移变换把椭圆＋＝1变为椭圆＋＝1；再通过伸缩变换把椭圆＋＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.
上述两种变换的合成变换是
3．小题热身
(1)(2017·东营模拟)在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝ C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为点x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.故选A.
(2)(2016·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 将ρcosθ－ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.
题型1 平面直角坐标系中的伸缩变换
将圆x2＋y2＝1
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
由题意找出(x，y)与(x1，y1)的关系，采用代入法求解．
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，y)，
依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
方法技巧
伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)
，即为所求变换之后的方程．见典例．
提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．
冲关针对训练
求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
将代入x2－＝1，得－＝1，
化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)即为所求．
题型2 极坐标与直角坐标的互化
(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
(1)用转化公式；(2)理解ρ1，ρ2的几何意义，化成ρ的二次方程后，利用韦达定理求ρ1，ρ2.
解 (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝
.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
方法技巧
极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．
2．极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
冲关针对训练
(2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状．
解 由C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，
∴x－y－1＝0，表示一条直线．
由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
所以C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．
题型3 极坐标方程的应用
(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝
eq r(10)，求l的斜率．
解方程组利用韦达定理求|ρ1－ρ2|＝即可．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.
所以l的斜率为或－.
方法技巧
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
1．求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．
2．求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
3．求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
冲关针对训练
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
(2)若射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.
解 (1)由得
所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝7.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－1)2＋y2＝1，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1，化简得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)依题意可设A，B.
因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsinθ－3＝0，
将θ＝(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程，得
ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3.
同理，将θ＝(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程，
得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.
1．(2017·南阳期末)直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ有交点，则k的取值范围是( )
A．k≤－ B．k≥－
C．k∈R D．k∈R但k≠0
答案 A
解析 由曲线C：ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，
∴x2＋y2＝2x，
联立化为(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
∵直线l与曲线C有交点，
∴Δ＝(4k－2)2－16(1＋k2)≥0，
化为16k≤－12，
解得k≤－.
∴k的取值范围是k≤－.故选A.
2．(2018·甘谷期末)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由可得sin2θ＝－1，再根据0≤θ<2π求得2θ＝，
∴θ＝，∴ρ＝2sinθ＝，
∴曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为.故选B.
3．(2017·大庆期中)已知A，B两点的极坐标为和，则线段AB中点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵A点的极坐标为，
∴xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin＝3，∴A(3，3)；同理可得B(－4，－4)．
设线段AB的中点为M(m，n)，由线段的中点坐标公式可得
∴线段AB中点的直角坐标为.故选D.
4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
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1．(2018·延庆县期末)在极坐标方程中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是( )
A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2
C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4
答案 B
解析 ρ＝4sinθ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
选项B：ρcosθ＝2的普通方程为x＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．故选B.
2．(2017·渭滨区月考)在极坐标系中，A，B，C，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 B，
∴OA＝5，OB＝8，
OC＝3，
∴∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠AOC＝－＝，
在△AOB中，由余弦定理可得
AB＝＝7，
同理可得，BC＝＝7，
AC＝＝7，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．故选C.
3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.
(1)求O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解 (1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为.
4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2
的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解 (1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，
所以ρ0cos＝1，②
将①代入②，得cos＝1，
即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
5．(2017·湖北模拟)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．
(1)求a；
(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
解 (1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcosθ，
化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.
∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．
由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.
由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.
(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，
则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ
＝2cos，
当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.
6．(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得
ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρ＋6＝0，
ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求圆的普通方程，
整理为圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cosα，y－2＝sinα.
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)得，
x＋y＝4＋(cosα＋sinα)＝4＋2sin，
∴当sin＝1时，x＋y的最大值为6，
当sin＝－1时，x＋y的最小值为2.
故x＋y的最大值和最小值分别是6和2.