- 405.50 KB
- 2021-04-20 发布
南师大附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测
数学Ⅰ
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合，，若，则 ．
2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______．
3．一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差s2为______．
4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______．
5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．
6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______．
7．在等比数列中，，，为的前项和．若，则__________．
8． 若函数为偶函数，则的值为________．
9．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且．设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________．
10．已知函数，则不等式的解集为_________．
11．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．
12． 若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．
13．已知的三个角所对的边为．若，为边上一点，且，则的最小值为_________．
14．已知函数，若，使得，则的取值范围是______
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
已知，，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：
（1）BC∥平面ADD1A1；
（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．
（第16题）
B
A
C
D
D1
B1
A1
C1
17．（本小题满分14分）
如图，在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为）与此公路所在直线相切于点，点为北半圆弧（弧）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，计划在内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为（单位：），
（1）设，将表示为的函数；
（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
18．（本小题满分16分）
已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．
（1）求椭圆方程；
（2）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点的坐标．
19．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）令，已知函数有两个极值点，且，
①求实数的取值范围；
②若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知等差数列的前n项和为Sn，若为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．
数 学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M＝．
（1）求M；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
现有4个旅游团队，3条旅游线路．
（1）求恰有2条线路被选择的概率；
（2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知
（1）求的值；
（2）求的值．