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- 2021-04-20 发布
石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷
数学（文）
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合,,那么等于（ ）
A．
B．
是
否
开始
结束
C．
D．
2．复数（ ）
A．
B．
C．
D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知关于的一次函数，设，，则函数
是增函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个四棱锥的三视图如右图所示，
这个四棱锥的体积为（ ）
侧视图
正视图
4
2
俯视图
3
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了局比赛，C、D各参加了局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．向量，，与夹角的大小为______________．
10．函数的最大值为_______________．
11．已知中，，，，则的面积为．
12若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是．
13．设变量，满足约束条件则的最大值为_______．
14．甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有12件、14件、16件．
①产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件；
②这批产品的总数最多有件．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知等比数列的公比为，且，, 成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是一个首项为，公差为的等差数列，求数列
的前项和．
16．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最大值．
17．（本小题共13分）
新高考政策已经在上海和浙江试验实施．为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取30位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：
科目选择
物理
化学
生物
历史
地理
政治
物理
化学
地理
历史
地理
生物
物理
政治
历史
其他
频率
（Ⅰ）若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，
3位同学选择了“物理、政治、历史”组合．求、、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为x1、x2，选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y1、y2、y3．现从这5位同学中任取2位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率．
18．（本小题共14分）
如图1，等腰梯形中，∥，于点，，且．
沿把折起到的位置（如图2），使．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
P′
A
B
C
D
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得∥平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
B
C
A
P
D
图1图2
19．（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．
20．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）若在点处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当时，设在处取到极值，记．
，，，判断直线、、与函数的图象各有几个交点（只需写出结论）．
石景山区2016—2017学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一．选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
A
B
C
D
二．填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
3
三．解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为成等差数列，
所以． ……2分
所以．
所以．
所以． ……4分
所以．……6分
（Ⅱ）．……8分
所以．……9分
所以
==．………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）……1分
……2分
，……4分
因此的最小正周期为．…………6分
（Ⅱ）当时，，………8分
当，有最大值．………10分
即时，的最大值为．……………13分
17．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由频率分布表得，……2分
因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以，
有3位同学选择了理政史组合，所以，从而
所以，，．……5分
（Ⅱ）从位同学，中任取位，所有可能的结果为：
，，，，，
，，，，．……8分
设事件表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”，
则包含的基本事件为：，，，共个，
又基本事件的总数为，故所求的概率．……13分
18．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为，所以⊥．
因为在等腰梯形中，⊥，所以在四棱锥中，⊥．
又，所以⊥面．
因为面，所以⊥．……3分
因为等腰梯形中，，，且．
所以，，．所以．
所以⊥．
因为=, 所以⊥平面． ……5分
（Ⅱ）,……7分
因为⊥面．
所以． ……9分
（Ⅲ）存在一点，为的中点，使得∥面， ……10分
P′
A
B
C
D
M
N
证明：取中点，中点，连结，，，
因为，为中点，
所以∥，=，
P′
A
B
C
D
P′
A
B
C
D
P′
A
B
C
D
P′
A
B
C
D
因为∥，=，
所以∥，=．
所以四边形为平行四边形 ．……12分
所以∥．
因为面，面．
所以∥平面．…………………………14分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以．
又因为，所以．
所以．
所以椭圆的标准方程为：． ……………………5分
（Ⅱ）设．
设直线：．……………………6分
联立，得：．
所以，．……………8分
直线的方程为，……………9分
令，解得………11分
又，
所以．………13分
所以直线与轴的交点是定点，坐标为．………14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由题意, ……………1分
因为在点处切线方程为，
所以，解得，
经检验时满足条件． ……………3分
（Ⅱ）由（I）
令，则或,……………4分
① 当时，，
令，解得或;
令，解得．
所以函数的单调增区间为和，
单调减区间为． ……………6分
② 当时，，此时，恒成立，
且仅在处，
故函数的单调增区间为．……………7分
③ 当时，，
同理可得函数的单调增区间为和，
单调减区间为．……………9分
（Ⅲ）直线与的图象的交点个数是个；…………10分
直线与的图象的交点个数是个；……………11分
直线与的图象的交点个数是个．……………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分．】