2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第9章 9 13页

www.ks5u.com ‎9.1　正弦定理与余弦定理 ‎9.1.1　‎正弦定理 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)‎ ‎2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判三角形的形状．(难点)‎ ‎3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)‎ ‎1.借助正弦定理的推导，提升数学抽象、逻辑推理的素养．‎ ‎2．通过正弦定理的应用的学习，培养数学运算、直观想象的素养.‎ ‎　‎ 关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．‎ 思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？‎ ‎1．三角形的面积公式 ‎(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．‎ ‎(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.‎ ‎(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．‎ ‎2．正弦定理 ‎3．解三角形 ‎(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．‎ ‎(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．‎ 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？‎ ‎[提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角．‎ ‎[拓展]　‎ ‎1．正弦定理的常用变形式 在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R.则 ‎(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；‎ ‎(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；‎ ‎(3)＝＝＝＝2R；(证明见类型4[探究问题])‎ ‎(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化)‎ ‎(5)sin A＝，sin B＝，sin C＝.(可以实现角到边的转化)‎ ‎2．三角形中边角的不等关系 ‎(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；‎ ‎(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)正弦定理不适用于钝角三角形． (　　)‎ ‎(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×.正弦定理适用于任意三角形．‎ ‎(2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√‎ ‎2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形　 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 B　[因为A，C是△ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．]‎ ‎3．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)‎ A.　　 B． C.　　 　　D．1‎ B　[由正弦定理＝可得，sin B＝＝＝，故选B.]‎ ‎4．在△ABC中，若＝，则B的大小为___________．‎ 　[由正弦定理知＝，‎ ‎∴sin B＝cos B，又∵B∈(0，π)，∴B＝.]‎ 已知两角及一边解三角形 ‎【例1】　(1)在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值；‎ ‎(2)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.‎ ‎[解]　(1)根据三角形内角和定理，得 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.‎ 根据正弦定理，得b＝＝＝9.‎ ‎(2)法一：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.‎ 由＝得a＝＝＝10.‎ ‎∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，‎ ‎∴b＝＝20×＝5＋5.‎ 法二：设△ABC外接圆的直径为2R，‎ 则2R＝＝＝20.‎ 易知B＝180°－(A＋C)＝105°，‎ ‎∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10，‎ b＝2Rsin B＝20×sin 105°‎ ‎＝20×＝5＋5.‎ 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 ‎(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．‎ ‎(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．‎ 提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．‎ ‎1．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.‎ ‎[解]　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，‎ 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.‎ 由正弦定理＝，‎ 得c＝a·＝5×＝5× ‎＝5× ‎＝(＋)．‎ 已知两边及其中一边的对角解三角形 ‎【例2】　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：‎ ‎(1)a＝1，b＝，A＝30°；‎ ‎(2)a＝1，b＝，B＝120°.‎ ‎[解]　(1)根据正弦定理，sin B＝＝＝.‎ ‎∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.‎ 当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，‎ ‎∴c＝＝＝2；‎ 当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.‎ ‎(2)根据正弦定理，sin A＝＝＝.‎ 因为B＝120°，所以A＝30°，则C＝30°，c＝a＝1‎ 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 ‎(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，分别求解即可．‎ ‎(2)根据三角形内角和定理求出第三个角．‎ ‎(3)根据正弦定理求出第三条边．‎ ‎2．已知△ABC分别根据下列条件解三角形：‎ ‎(1)a＝2，c＝，C＝；‎ ‎(2)a＝2，c＝，A＝.‎ ‎[解]　(1)∵＝，‎ ‎∴sin A＝＝.‎ ‎∵c>a，∴C>A.∴A＝.‎ ‎∴B＝，b＝＝＝＋1.‎ ‎(2)∵＝，‎ ‎∴sin C＝＝.‎ 又∵a