人教A版高中数学2-1-2指数函数（3）教案新人教版必修1 4页

2.1.2（3）指数函数（教学设计） 内容：复合函数的单调性 教学目标 1. 理解指数函数的单调性的应用 2.理解掌握复合函数的单调性。 教学重点与难点： 重点：复合函数的单调性。 难点：函数值域的求解。 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 问 1：对于指数函数 xay  ，你认为需要注意哪些方面？ 答：（1）底数 a 的取值有范围限制： 0a 且 1a ； （2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如 kay x  （ 0a 且 1a ， 0k ）， xkay  （ 0a 且 1a ， 1k ）． 有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如 xay  （ 0a 且 1a ）． 形如 xkay  （ 0a 且 1a ， 0k ）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的 xpNy )1(  （ Nx  ） 模型，就是此类型． （3）指数函数 xay  从大的来说按照底数分为两类： 10  a 和 1a ．不要混淆这两类函数的性质． （4）函数 xay  的图象与 xay  （ 0a 且 1a ）的图象关于 y 轴对称，这是因为点 ),( yx 与点 ),( yx 关于 y 轴对称．根据这种对称性就可以通过函数 xay  的图象得到 xay  的图象． （5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运 用分类讨论的思想解决问题． 二、师生互动，新课讲解： 例 1（课本 P57 例 8）截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 变式训练 1：（课本 P59 习题 2.1 A 组 NO：6）一种产品的产量原来是 a，在今后 m 年内，计划使产 量平均每年比 上一年增加 p%，写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式。 例 2 求函数 xx y 22 2 1       的单调区间，并证明 解：设 21 xx  则 )2)((22 2 2 1 2 121212 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1                        xxxxxxxx xx xx y y ∵ 21 xx  ∴ 012  xx 当  1,, 21 xx 时， 0221  xx 这时 0)2)(( 1212  xxxx 即 1 1 2  y y ∴ 12 yy  ，函数单调递增 当   ,1, 21 xx 时， 0221  xx 这时 0)2)(( 1212  xxxx 即 1 1 2  y y ∴ 12 yy  ，函数单调递减 ∴函数 y 在  1, 上单调递增，在  ,1 上单调递减。 解法二、（用复合函数的单调性）： 设： xxu 22  则： u y      2 1 对任意的 211 xx  ，有 21 uu  ，又∵ u y      2 1 是减函数 ∴ 21 yy  ∴ xx y 22 2 1       在 ),1[  是减函数 对任意的 121  xx ，有 21 uu  ，又∵ u y      2 1 是减函数 ∴ 21 yy  ∴ xx y 22 2 1       在 ),1[  是增函数 归纳：复合函数的单调性：（同增异减） u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 变式训练 2：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间 （1） 2 22x xy  ；（2） 31( )5 xy   ；（3） 2 21( )2 x xy   例 3：求下列函数的值域： （1） 2 21( )2 x xy  ；（2） 2 22x xy  变式训练 3：求函数 3 1 )2 1(  xy 的定义域与值域。 解：要使函数有意义，必须 03 x 即 3x ∵ 03 1 x ∴ 1)2 1()2 1( 03 1  xy 又∵ 0y ∴值域为 ),1()1,0(  三、课堂小结，巩固反思： 1、函数模型的建立。 2、复合函数的单调性 u=g(x) y=f(u) Y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 四、布置作业： A 组： 1． 函数 y＝ 2 21( )2 x x  的值域是 ( ) A．R B．(0，＋∞) C．(2，＋∞) D. 1 2 ，＋∞ 答案 D 解析 ∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴ 1 2 －x2＋2x≥1 2 ，故选 D. 2、(tb0113813)求函数 y=( 3 1 ) 182 2  xx 的单调区间。 解：减区间： ( , 2]  ，增区间：[-2，+ ) 3、 求函数 2 4 12x xy   的单调区间。 B 组： 1、（课本 P59 习题 2.1 B 组 NO：3） 2、求函数 f(x)＝3 x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间． 思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． (1)答案 D 解析 由 f(x)＝ax－b 的图像可以观察出函数 f(x)＝ax－b 在定义域上单调递减，所以 01，∴由复合函数的单调性，可知 f(x)＝3 x2－5x＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．