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- 2021-04-20 发布
高三年级期末考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ）
A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（1，2）
2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）
A． B． C． D．
4.向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5.各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值 为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.如右图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9.定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10.已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．4 C． D．
11.三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）
13．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．_____.
14.已知，则的值是________．
15. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于________．
16.数列的通项，其前项和为，则________．
三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）
17.（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角的对边分别为且满足，求的值．
18.（本小题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数和．求随机变量的分布及期望．
19．（满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角M﹣BQ﹣C的大小．
20. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．
（1）若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线的斜率存在，并记为，求的值；
21.（本小题满分12分）
已知函数．（1）求在上的最小值；
（2）若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.
22. （本小题满分 10分）
已知点在直径的延长线上，切于点，是的平分线且交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的值．
23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积．
24. （本小题满分10分）
设函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．
数学理科参考答案
一、 选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A
二、填空题13. ． 14． 15． 16 ．470
17．解：（1）
，∴，∴．．．6分
（2）∵由题意可得有，，
化简可得： ∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得：，∵ ∴， 所以
18. 18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 ．．．．2分
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得． 6分
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
，，
，
29
30
31
32
33
34
35
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
，．12分
19.（Ⅰ）证明：连结BQ，∵四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q为AD的中点，
∴四边形ABDQ为平行四边形，又∵CD=，∴QB=，∵△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，∴PQ⊥AD，PQ=，在△PQB中，QB=，PB=，有PQ2+BQ2=PB2，∴PQ⊥BQ，∵AD∩BQ=Q，AD、BQ⊂平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，又∵PQ⊂平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知能以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，则Q（0，0，0），B（0，，0），∵BC=1，CD=，Q是AD的中点，∴PQ===，QC===2，
∴PC===，又∵PM=3MC，∴M（﹣，，），
∴=（0，，0），=（﹣，，），设平面MBQ的一个法向量为=（x，y，z），
由，即，令z=，得=（1，0，），
又=（0，0，1）为平面BCQ的一个法向量，∴==，
∴二面角M﹣BQ﹣C为．
20．（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②
联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．
（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，
即，所以．
21．解：（1），令得的递增区间为；
令得的递减区间为，．2分 ∵，则
当时，在上为增函数，的最小值为；．．．．．．．．．．．3分
当时，在上为增函数，在上为减函数，又，
∴若，的最小值为，．．．4分若，的最小值为，．．．．．．5分综上，当时，的最小值为；当，的最小值为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，的递增区间为，递减区间为，且在上，又，则．又．∴时，由不等式得或，而解集为，整数解有无数多个，不合题意；．．．．．．．8分，时，由不等式得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得或，∵解集为无整数解，若不等式有两整数解，则，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上，实数的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．（1）∵为的切线，∴，又是的平分线，∴．由，得，
又，∴．（2）∵，∴∴，又，∴．在中，∴．
23．解：（1）由曲线的极坐标方程是：，得．
∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：．．5分
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两点对应的参数分别为，所，
因为原点到直线的距离，所以的面积是． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
24．解：（1）∵，∴，∴，
∴.的解集为，，解得
（2）由（1）得．∴，化简
令，的图象如要使不等的解集非空，需，或，∴的取值范是．