- 812.20 KB
- 2021-04-20 发布
1
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
一、柱体、锥体、台体的表面积
1．旋转体的表面积
圆柱（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆锥（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆台（上、下底面半径分别为
r′,r,母线长为 l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
2．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：
2π底S r 2π底S r 2 2,π π上底 下底S r S r
2π侧S rl π侧S rl π侧S l r r
2π表S r r l π表S r r l 2 2π表S r r r l rl
2
二、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
柱体 (S 为底面面积，h 为高), (r 为底面半径，h 为高)
锥体 (S 为底面面积，h 为高)，
(r 为底面半径，h 为高)
台体
(S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，
(r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高)
2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系
3．必记结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；
（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.
三、球的表面积和体积
1．球的表面积和体积公式
设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其表面积公式为
，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 .
2．球的切、接问题（常见结论）
柱体V Sh 2π圆柱V r h
1
3锥体V Sh 21
3 π圆锥V r h
(1
3 )台体V S S S S h
2 2
3 π1
圆台V h r r r r
24πR 34 π3 R
3
（1）若正方体的棱长为 ，则正方体的内切球半径是 ；正方体的外接球半径是 ；与正方体所
有棱相切的球的半径是 ．
（2）若长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则长方体的外接球半径是 ．
（3）若正四面体的棱长为 ，则正四面体的内切球半径是 ；正四面体的外接球半径是 ；与
正四面体所有棱相切的球的半径是 ．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
考向一 柱体、锥体、台体的表面积
1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与
几何体的表面积公式，求其表面积．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.
3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开
为平面图形后再求面积.
典例 1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
a 1
2 a 3
2 a
2
2 a
a b h 2 2 21
2 a b h
a 6
12 a 6
4 a
2
4 a
20π 24π
32π 28π
4
【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部
分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．
典例 2 若正四棱柱 的底边长为 2， 与底面 成 45°角，则三棱锥 的
表面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 与底面 成 45°角，且正四棱柱 的底边长为 2，可知棱柱的高为
，故三棱锥 的表面积为
故答案为 A. 学#
1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的
表面积为
A． B．61
C．62 D．73
1 1 1 1ABCD A B C D 1AC ABCD 1B ACC
6 2 2 2 3 4 3 2 3 3
8 2 2 3 10 2 3
1AC ABCD 1 1 1 1ABCD A B C D
2 2 1B ACC
1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 6 2 2 2 3.2 2 2 2
99
2
5
2．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，
起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视
图，其表面积为
A．192 B．186
C．180 D．198
考向二 柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.
求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，
我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何
体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据
几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积
是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这
几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于
这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的
体积，就是求体积的“加、减”法．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
6
典例 3 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的
体积比为
A． B．
C． D．
【答案】A
典例 4 如图，几何体 中， 平面 ， 是正方形， 为直角梯形， ，
， 是腰长为 的等腰直角三角形．
（1）求证： ；
（2）求几何体 的体积.
【解析】（1）因为 是腰长为 的等腰直角三角形，
所以 .
因为 平面 ，所以 .
3 3 1π 3 3 1
π 3
3 3
π
3 3 1π
△ACB
△ACB
7
又 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
所以 .
（2）因为 是腰长为 的等腰直角三角形，
所以 ，
所以 .
所以 ，
由勾股定理得 ，
因为 平面 ，
所以 .
又 ，
所以 平面 .
所以
.
3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为 ， ，则
A． B．
C． D．
△ABC
1 1 1
3 3 3△几何体 几何体 几何体 四边形 =ABCEF ABCD A CDEF F ACB CDEFV V V S AD S CF CD DE AD
1 1 1 1 1 162 2 2 2 2 2 2 23 2 3 3 2 3AC BC CF
1V 2V
1 22V V 1 22V V
1 2 163V V 1 2 173V V
8
4 ．如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， 为棱 的中点，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求斜三棱柱 的体积.
考向三 球的表面积和体积
1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球
的体积或表面积也可以求其半径.
2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外
接球与内切球的球心重合，且半径之比为 3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接
球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球
与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和
侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正
确建立等量关系.
4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截
面的距离 与球的半径 及截面圆的半径 之间满足关系式： .
典例 5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑，
平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的
表面积为
A． B．
C． D．
1 1 1ABC A B C ABC 2 M BC
1 3BB 1 10AB 1 60CBB
AM 1 1BCC B
1 1 1ABC A B C
d R r 2 2d R r
P ABC
PA ABC 2PA AB 4AC P ABC O O
8π 12π
20π 24π
9
【答案】C
【解析】如图，由题可知，底面 为直角三角形，且 ，则 ，
则球 的直径 ，则球 的表面积 .故
选 C.
典例 6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器
内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
【答案】A
△ABC π
2ABC 2 2 2 3BC AC AB
O 2 2 22 20 2 5, 5R PA AB BC R O 24π 20πS R
500π
3
866π
3
1372π
3
2048π
3
10
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 的圆，则这个几何体的表面积是
A． B．
C． D．
6．三棱锥 A−BCD 的所有顶点都在球 的表面上， 平面 ， ， ，
则球 的体积为
A． B．
C． D．
2
16π 14π
12π 8π
2BC BD 2 4 3AB CD
O
64π 128 π3
64 π3
256 π3
11
考向四 空间几何体表面积和体积的最值
求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关
最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解
决.
典例 7 如图,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,A1A=AB=2.
（1）求证：BC⊥平面 A1AC;
（2）求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.
【解析】（1）因为 C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,且 AB 是圆柱底面圆的直径,
所以 BC⊥AC.
因为 AA1⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,
所以 AA1⊥BC.
又 AA1∩AC=A,
所以 BC⊥平面 AA1C.
（2）方法一：设 AC=x(0