【数学】2021届一轮复习人教A版空间直角坐标系空间向量及其运算作业 4页

第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 ‎1．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)‎ A．一定不共面　　　　 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 解析：B　[ ∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．]‎ ‎2．(2019·成都市模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6，2u－1,2λ)，若a∥b，则λ与u的值可以是(　　)‎ A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2‎ 解析：A　[由题意知(λ＋1)·2λ＝2×6，可得λ＝－3或2，由0·2λ＝2(2u－1)得u＝，分析选项知A正确．故选A.]‎ ‎3．(2019·东城区期末)结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：A　[设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD－OEFG，如图所示：‎ ‎∵平面BFGD经过点B与x轴垂直，‎ ‎∴点B在x轴上的射影为G点，结合G得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1.由此可得点B的坐标为.故选A.]‎ ‎4．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　)‎ A.　　B．‎2　‎　　C.　　　D. 解析：D　[设＝m＋n，＝λ＋μ，其中m，n，λ，μ为实数．‎ 因为B，D，E，C共线，所以m＋n＝1，λ＋μ＝1.‎ 因为＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，‎ 易知x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋y)＝≥＝.]‎ ‎5．(2019·哈尔滨市模拟)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)‎ A. B. C．4 D．8‎ 解析：A　[|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉＝ ＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝‎ ‎|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.故选A.]‎ ‎6．(2019·银川市模拟)已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．‎ 解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1).＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2，得点P坐标为，又D(1,1,1)，∴||＝.‎ 答案： ‎7．(2019·包头市模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．‎ 解析：由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，‎ 设P(0,0，a)(a>0)，则E，‎ 所以＝(0,0，a)，＝，||＝a，‎ ‎||＝＝＝.‎ 又cos〈，〉＝，所以＝，‎ 解得a2＝4，即a＝2，所以E(1,1,1)．‎ 答案：(1,1,1)‎ ‎8．如图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．‎ 解析：＝＋＋，‎ 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ，‎ 所以||＝，即AD的长为.‎ 答案： ‎9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．‎ ‎(1)求|‎2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ 解：(1)‎2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|‎2a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.‎ ‎10．(2019·遵义市调研)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．‎ 解：(1)∵c∥，‎ ＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，‎ ‎∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－‎2m，－m,‎2m)，‎ ‎∴|c|＝＝3|m|＝3，‎ ‎∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．‎ ‎(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，‎ 又∵|a|＝＝，|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－