2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 13页

绝密★启用前 贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设函数的导函数为,且，则（ ）‎ A．-1 B．-3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义直接求解。‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的定义。‎ ‎2．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别用表示，代入，得到变换后的曲线方程。‎ ‎【详解】‎ 由代入曲线中，得，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了伸缩变换。‎ ‎3．曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A．1 B．2 C．－1 D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，然后把代入导函数中，求出在点处的切线斜率。‎ ‎【详解】‎ ‎，把代入导函数中，，‎ 所以在点处的切线斜率为，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义。‎ ‎4．参数方程（为参数）所表示的图形是（ ）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过加减法进行消参，再识别图形。‎ ‎【详解】‎ 已知，得，，它表示一条直线，故本题选A.‎ ‎5．直角坐标系中，点的极坐标可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式求出极径和极角。‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点的直角坐标化成极坐标。‎ ‎6．曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点的坐标，利用导数求出切线的斜率，切线与已知直线平行，可以根据斜率关系，列出等式，求出的坐标。‎ ‎【详解】‎ 设点的坐标为，，由题意可知，切线与直线平行，所以，所以点的坐标为，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，以及两直线平行斜率的性质。‎ ‎7．在极坐标系中，点与之间的距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过点与的极坐标，可以发现两点在极点为圆心，3为半径的圆上，求出的大小，最后求出的大小。‎ ‎【详解】‎ 点与的极径相等，所以两点在以极点为圆心，3为半径的圆上，通过极角，可知,由勾股定理，可得,故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标下，求两点间的距离。‎ ‎8．若，则（ ）‎ A．-1 B．-2 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，把代入，求得的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，把代入，得 ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求一个函数的导数。‎ ‎9．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．‎ 详解：由的图象知，有两个极值点，则的图象与轴应有两个交点， 又由增减性知，函数先单调递增，然后单调递减，最后单调递增，对于的导数的符号为正，负，正， 对应选D项． 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数符号之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎10．函数，若，且，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数，判断出函数在上的单调性，然后再判断函数的奇偶性，最后根据已知的不等式，利用单调性和奇偶性，得出结论。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以函数在上是减函数，又，所以函数在上是奇函数，所以有，根据单调性有 ‎，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数判断函数的单调性。考查了函数的奇偶性的判断。重点考查了利用函数性质解决两个自变量之间的关系。‎ ‎11．已知圆锥曲线的参数方程为：（为参数），则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据参数方程的特征，消参，识别曲线特征，求出离心率。‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化为普通方程，求圆锥曲线的离心率。‎ ‎12．定义在的函数，其导函数为，满足，且，则的单调情况为（ ）‎ A．先增后减 B．单调递增 C．单调递减 D．先减后增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把，变形为，构造函数的导数形式，得到，，利用已知，求出，求出函数的表达式，求导，研究它的单调性，得出结论。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎（为常数），而，所以，‎ ‎，当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，因此本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性。重点考查了构造法、变形能力。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数在点处的切线方程为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求出在点处的切线的斜率，利用点斜式写出方程，再化为一般式。‎ ‎【详解】‎ ‎，，所以切线方程为 ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求曲线的切线方程。‎ ‎14．在平面直角坐标系中，动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可直接列出等式，化简求出轨迹方程 ‎【详解】‎ 由题意可知：，‎ 动点的轨迹方程是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求动点的轨迹方程。本题属于用直译法，求动点的轨迹方程。‎ ‎15．已知在为单调增函数，则实数的取值范围是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题就是求当导函数在上非负时，实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎，由题意可知：在上，‎ 恒成立，即在上恒成立，‎ 在上，，所以有，因此实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数单调性求参数取值范围问题。‎ ‎16．若在区间上取值，则函数在R上有两个相异极值点的概率是______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数在R上有两个相异极值点，所要满足的条件，利用线性归化，求出几何概型的概率。‎ ‎【详解】‎ ‎，由题意可知：‎ ‎，而在区间上取值，所以，如下图所示：‎ ‎,,正方形的面积，‎ 所示概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型。解决本题的关键是能否联想到线性规划。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知直线的参数方程：（为参数）和曲线的极坐标方程：。‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线和曲线的位置关系。‎ ‎【答案】(1) (2) 直线与圆相交.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用加减消元法，消去参数，化为普通方程，利用公式 ‎，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）利用点到直线距离，求出弦心距，与半径比较，判断位置关系。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线的普通方程为：‎ 圆的标准方程为：.‎ ‎（2）由（1）知曲线C的圆心为，半径，圆心到直线的距离 ‎，直线与圆相交.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与圆的位置关系的判断。‎ ‎18．已知函数，且，。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求函数的最大值和最小值。‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据已知条件，列出方程组，解方程组，求出的值。‎ ‎（2）在区间上，求出函数的极值点，计算函数的极大值、极小值、闭区间两个端点的函数值，比较它们的大小，求出函数的最大值和最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知：，‎ 解得：.‎ ‎（2）由（1）知：‎ 令由 得由得 ‎ 在上单调递增，在上单调递减,在上单调递增，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了待定系法求函数的解析式以及闭区间上求函数的最值。‎ ‎19．已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点,倾斜角为。‎ ‎（1）求曲线的标准方程.‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，对曲线的参数方程进行消参，化为普通方程；‎ ‎（2）直线的参数方程与曲线的普通方程联立，根据参数的几何意义，求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)曲线的普标准方程为： ‎ ‎(2)直线的参数方程为：（为参数），‎ 代入曲线中有：‎ 整理得：， , ‎ 根据参数t的几何意义知：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化普通方程，以及直线参数方程中，参数的几何意义。‎ ‎20．已知函数在处取得极值。‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）过点作曲线的切线,求此切线方程。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，由题意可知是导函数等于零的两个根，利用韦达定理可以求出实数的值；‎ ‎（2）判断点在不在函数图象上，如果不在，设切点，求出切线斜率，写出切线方程，把点坐标代入，求出切点坐标，也就求出切线方程，如果在，就直接根据导函数，求出斜率，写出切线方程。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知 ‎ 是方程的两个根，‎ 由韦达定理：，解得：.经检验满足题意.‎ ‎(2)由(1)可知：‎ 因点不在函数图象上，故设切点为则 所以切线方程为：‎ 即：‎ ‎ 过点则：‎ 切线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数极值的情况，求参数问题。重点考查了过已知不在函数图象上的点的切线方程的问题。‎ ‎21．曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线。‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）为曲线上任意一点,求点到直线的距离的最小值。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，把曲线的参数方程进行消参，得到普通方程，利用 把直线化成直角坐标方程；‎ ‎（2）利用点到直线距离公式，求出点到直线的距离，利用辅助角公式，求出最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的普通方程为:‎ 直线的直角坐标方程为:‎ ‎（2）设曲线上点的坐标为 则点P到直线的距离 ‎ ‎ 当时，取得最小值 所以点P到直线的距离的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程。重点考查了利用辅助角公式求最值问题。‎ ‎22．已知函数，，其中。‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增.(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，然后分类讨论，判断出单调性；‎ ‎（2）在其定义域内为增函数，等价于≥0在恒成立，也就是对恒成立，常变量分离，利用基本不等式，求出正实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解：(1)的定义域为 ‎ ‎①时，在上单调递增；‎ ‎②时，令由得，由得 在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎(2)定义域为，‎ 由题可知：对恒成立，‎ ‎ ‎ 记当且仅当 即：时，取得最大值.‎ 正实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及知道函数的单调性求参数问题。本题重点考查了恒成立问题。‎