2020高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2 6页

函数的奇偶性和周期性 ‎（答题时间：50分钟）‎ 函数的奇偶性和周期性（一）‎ 一、填空题 ‎1. 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则_______。‎ ‎2. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足（）.若，则______。‎ ‎3. 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，比较的大小，用“＜”连接。__________________________________。‎ ‎4. 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m>0）在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________。‎ ‎5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为_________。‎ ‎6. 设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 。‎ ‎7. 设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数。则下列结论中正确的是________。‎ ‎①是偶函数； ②是奇函数；‎ ‎③是奇函数； ④是奇函数。‎ 二、解答题 ‎8. 函数是定义在内的奇函数，且。‎ ‎（1）确定函数的解析式；‎ ‎（2）用定义证明在内为增函数；‎ ‎（3）解不等式：。‎ 函数的奇偶性和周期性（二）‎ ‎1. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）·f（x＋2）＝13，f（1）＝2，则f（99）＝____。‎ ‎2. 设f（x）是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为_______。‎ ‎3. 设函数f（x）＝x（ex＋ae－x）（x∈R）是偶函数，则实数a的值为________。‎ 6‎ ‎4. 已知函数f（x＋1）是奇函数，f（x－1）是偶函数，且f（0）＝2，则f（4）＝________。‎ ‎*5. 设函数f（x）的定义域、值域分别为A、B，且A∩B是单元集，下列命题：‎ ‎①若A∩B＝{a}，则f（a）＝a；‎ ‎②若B不是单元集，则满足f[f（x）]＝f（x）的x值可能不存在；‎ ‎③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；‎ ‎④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数；‎ 其中，正确命题的序号为________。‎ ‎*6. 设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=_____。‎ ‎**7. 设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足 ‎①f（x1－x2）＝；‎ ‎②存在正常数a，使f（a）＝1；‎ 求证：（1）f（x）是奇函数；‎ ‎（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为‎4a。‎ 6‎ 函数的奇偶性和周期性（一）‎ ‎1. 0 ‎ 解析：是定义在上的奇函数，∴；‎ 的图象关于直线对称，∴，‎ 又为奇函数，∴，又的图象关于直线对称，‎ ‎∴；同理可得，，。‎ ‎2. ‎ 解析：①，‎ 又由为奇函数，为偶函数，将代入①式得：‎ ‎②‎ ‎①+②式子得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴。‎ ‎3. ‎ 解析：由f（x－4）＝－f（x）得：，8为函数的最小正周期。‎ ‎∴，‎ 由f（x）在上为增函数，且在上为增函数，‎ 所以f（x）在上为增函数。‎ 令，得：‎ 所以。‎ ‎4. ‎ 解析：为定义在R上的奇函数以及f（x－4）＝－f（x）可得：‎ 的周期为8，的图象关于原点对称，‎ 由可得的其中一条对称轴为直线，‎ 在区间上为增函数，‎ 画出满足条件的的图象如下图：‎ 6‎ 令四个交点分别为A，B，C，D，对应的点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，‎ 则A，B两点关于直线对称，∴x1x2 ，‎ C，D两点关于直线对称，∴x3x4 ，‎ ‎∴x1＋x2＋x3＋x4＝‎ ‎5. （－1，0）∪（0，1）‎ 解析：为奇函数，∴，‎ 由得，‎ ‎∴‎ 又∵在上为增函数，且，‎ ‎∴当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴原不等式的解集为（－1，0）∪（0，1）。‎ ‎6. 1‎ 解析：利用周期性，将转化为定义域在上的函数值。‎ ‎∵是定义在R上的周期为2的函数，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴ ‎ ‎。‎ ‎7. ③‎ 解析：①令，‎ 由是奇函数，是偶函数可知 ‎∴，即，又的定义域为，所以是奇函数。‎ ‎②为偶函数，是偶函数，由偶偶=偶（函数）得：是奇函数（定义域为R，关于原点对称）。‎ ‎③是奇函数， 是偶函数故也是偶函数，由奇偶=奇，所以是奇函数（定于域为R）。‎ ‎④，且定义域为R，所以是偶函数。‎ ‎8. 解析：本题考查通过函数的单调性和奇偶性来确定函数的解析式，求的值是解本题的关键。‎ ‎（1）解：由已知得：‎ ‎ 即 6‎ 解得：，‎ ‎∴。‎ ‎（2）证明：任意取 ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴在内是增函数。‎ ‎（3）解：，‎ ‎∵是内的增函数，‎ ‎∴‎ 解得：。‎ 函数的奇偶性和周期性（二）‎ ‎1. 解析：由f（x）·f（x＋2）＝13，知f（x＋2）·f（x＋4）＝13，所以f（x＋4）＝f（x），即f（x）是周期函数，周期为4.所以f（99）＝f（3＋4×24）＝f（3）＝。‎ ‎2. －8 解析：因为f（x）是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f（x）＝，只有两种情况：①x；②x＋＝0，‎ 由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3，‎ 由②知x2＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5，‎ 因此满足条件的所有x之和为－8。‎ ‎3. －1 解析：设g（x）＝x，h（x）＝ex＋ae－x，因为函数g（x）＝x是奇函数，则由题意知，函数h（x）＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f（x）的定义域为R，∴h（0）＝0，解得a＝－1。‎ ‎4. －2 解析：依题意有f（－x＋1）＝－f（x＋1），f（－x－1）＝f（x－1），所以f（4）＝f（－（－3）＋1）＝－f（－2）＝－f（－1－1）＝－f（0）＝－2。‎ ‎5. ②③ 解析：如f（x）＝x＋1，A＝[－1，0]，B＝[0，1]满足A∩B＝{0}，但f（0）≠0，且满足f[f（x）]＝f（x）的x可能不存在，①错，②正确；如，f（x）＝1，A＝R，B＝{1}，则f（x）＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f（x）＝x－2k＋1，A＝[2k－1，2k]，B＝[0，1]，k∈Z，f（x）是周期函数，但不是常数函数，所以④错误。‎ ‎6. 解析：∵函数f（x） （x∈R）为奇函数，f（1）=，‎ ‎∴f（-1）=-，f（1）=，f（0）=0，‎ 令x=-1，代入到f（x+2）=f（x）+f（2）中，得：‎ 6‎ f（1）= f（-1）+ f（2），‎ ‎∴f（2）= f（1）- f（-1）=1，‎ ‎∴f（3）= f（1+2）=f（1）+ f（2）= ，‎ ‎∴f（5）= f（2+3）=f（2）+ f（3）= ‎ ‎7. 证明：（1）不妨令x＝x1－x2，则 f（－x）＝f（x2－x1）＝‎ ‎＝－＝－f（x1－x2）‎ ‎＝－f（x），∴f（x）是奇函数；‎ ‎（2）要证f（x＋‎4a）＝f（x），‎ 可先计算f（x＋a），f（x＋‎2a），‎ ‎∵f（x＋a）＝f[x－（－a）]‎ ‎＝，（f（a）＝1），‎ ‎∴f（x＋‎2a）＝f[（x＋a）＋a]，‎ ‎＝＝－，‎ ‎∴f（x＋‎4a）＝f[（x＋‎2a）＋‎2a]＝＝f（x），‎ 故f（x）是以‎4a为周期的周期函数。‎ 6‎