2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：2-4 习题课3 7页

习题课(3) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a 等于( B ) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 解析：b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．故选 B. 2．如图，D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点， 则EB→＋FC→等于( A ) A.AD→ B.1 2AD→ C.1 2BC→ D.BC→ 解析：EB→＋FC→ ＝－1 2(BA→＋BC→ )－1 2(CA→ ＋CB→ )＝－1 2(BA→ ＋CA→ )＝ 1 2(AB→＋AC→)＝AD→ .故选 A. 3．下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( D ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) 解析：由题意得，设 a＝λe1＋μe2，即(3,2)＝λ(－1,2)＋μ(5，－2)， 解得λ＝2，μ＝1，即 a＝2e1＋e2，故选 D. 4．已知直线上有三点 P1，P2，P，其中 P1(2，－1)，P2(－1,3)， 且P1P→ ＝2 3PP2 → ，则点 P 的坐标为( B ) A. 4 5 ，－3 5 B. 4 5 ，3 5 C. －4 5 ，3 5 D. －4 5 ，－3 5 解析：设 P(x，y)，由P1P→ ＝2 3PP2 → ，得(x－2，y＋1)＝2 3(－1－x,3 －y)，则 x－2＝2 3 －1－x， y＋1＝2 3 3－y. 解得 x＝4 5 ， y＝3 5. 5．在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN→＝1 2NC→ ，P 是 BN 上的 一点．若AP→＝mAB→＋2 9AC→，则实数 m＝( B ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D．1 解析： 如图，因为AN→＝1 2NC→ ，所以AC→＝3AN→，则AP→＝mAB→＋2 9AC→＝mAB→ ＋2 3AN→.又因为 B，P，N 三点共线，所以 m＋2 3 ＝1，所以 m＝1 3. 6．设点 O 是边长为 2 的正三角形 ABC 内部一点，且满足 2OA→ ＋ OB→ ＋OC→ ＝0，则△OBC 的面积为( B ) A．2 3 B. 3 2 C．2 D．4 解析：设 BC 的中点为 D，则OB→ ＋OC→ ＝2OD→ ， 由 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，得OA→ ＝－OD→ ，即 O 是 AD 的中点． ∴S△OBC＝1 2S△ABC＝ 3 2 . 7．已知 O、A、M、B 为平面上四点，且OM→ ＝λOB→ ＋(1－λ)OA→ ， λ∈(1,2)，则( B ) A．点 M 在线段 AB 上 B．点 B 在线段 AM 上 C．点 A 在线段 BM 上 D．O、A、M、B 四点共线 解析：OM→ －OA→ ＝λ(OB→ －OA→ )，则AM→ ＝λAB→，λ∈(1,2)， 故点 B 在线段 AM 上．故选 B. 8．如图所示，在△ABC 中，设AB→＝a，AC→＝b，AP 的中点为 Q， BQ 的中点为 R，CR 的中点恰为 P，则AP→＝( C ) A.1 2a＋1 2b B.1 3a＋2 3b C.2 7a＋4 7b D.4 7a＋2 7b 解析： 如图，连接 BP，则 AP→＝AC→＋CP→＝b＋PR→， ① AP→＝AB→＋BP→＝a＋RP→－RB→. ② ①＋②，得 2AP→＝a＋b－RB→. ③ 又∵RB→＝1 2QB→ ＝1 2(AB→－AQ→ )＝1 2 a－1 2AP→ ， ④ 将④代入③，得 2AP→＝a＋b－1 2 a－1 2AP→ ，解得AP→＝2 7a＋4 7b.故选 C. 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 9．在△ABC 中，AB→＝a，AC→＝b，若BD→ ＝2DC→ ，则AD→ ＝1 3a＋2 3b(用 a，b 表示)． 解析：AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋2 3BC→＝AB→＋2 3(AC→－AB→) ＝1 3AB→＋2 3AC→＝1 3a＋2 3b. 10．已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP→＝AB→＋λAC→ (λ∈R)， 则当点 P 在第三象限时，λ的取值范围为(－∞，－1)． 解析：由已知得AP→＝AB→＋λAC→ ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝ (3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． 设点 P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)， 于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即 x－2＝3＋5λ， y－3＝1＋7λ. 又点 P 在第三象限，所以 x＝5＋5λ<0， y＝4＋7λ<0， 解得λ<－1. 所以λ的取值范围是(－∞，－1)． 11．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2AB，BE ＝2 3BC，若DE→ ＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为1 2. 解析： 如图．∵AD＝1 2AB，BE＝2 3BC， ∴DE→ ＝DB→ ＋BE→＝1 2AB→＋2 3BC→ ＝1 2AB→＋2 3(AC→－AB→)＝－1 6AB→＋2 3AC→， 又∵DE→ ＝λ1AB→＋λ2AC→，∴λ1＝－1 6 ，λ2＝2 3 ，∴λ1＋λ2＝1 2. 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分．写出必 要的文字说明、计算过程或演算步骤) 12．一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又 改变方向向北偏西 40°走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向 东行驶了 100 km 到达 D 点． (1)作出向量AB→、BC→、CD→ ； (2)求|AD→ |. 解：(1)向量AB→、BC→、CD→ 如图所示． (2)由题意，易知AB→与CD→ 方向相反，故AB→与CD→ 共线，又|AB→|＝| CD→ |， 所以在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD， 所以四边形 ABCD 为平行四边形， 所以AD→ ＝BC→，所以|AD→ |＝|BC→|＝200 km. 13．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b， CA→＝c，且CM→ ＝3c，CN→ ＝－2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求点 M，N 的坐标及MN→ 的坐标． 解：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－ 15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1. (3)∵CM→ ＝OM→ －OC→ ＝3c， ∴OM→ ＝3c＋OC→ ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)． 又∵CN→ ＝ON→ －OC→ ＝－2b， ∴ON→ ＝－2b＋OC→ ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)． ∴MN→ ＝(9，－18)． 14．已知向量 u＝(x，y)，向量 v＝(y,2y－x)的对应关系用 v＝f(u) 表示． (1)设 a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量 f(a)，f(b)； (2)求使 f(c)＝(p，q)(p，q 为常数)的向量 c 的坐标． 解：(1)由 v＝f(u)⇒f(x，y)＝(y,2y－x)． ∴f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)． (2)设 c＝(x，y)，由题意(y,2y－x)＝(p，q)． ∴ y＝p， 2y－x＝q， ∴ x＝2p－q， y＝p， ∴c＝(2p－q，p)．