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- 2021-04-20 发布
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则集合不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：定义域，集合交集．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2.已知直线与直线平行，则的值是（ ）
A．1 B． -1 C． 2 D．-2
【答案】D
【解析】
试题分析：由于两条直线平行，所以斜率相等，故.
考点：两条直线的位置关系．
3.下列判断错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若为真命题，则均为假命题
D．命题“若，则”为真命题，则“若，则”也为真命题
【答案】C
【解析】
试题分析：为真命题，故为假命题，故至少有一个假命题，故C选项判读错误，选C.
考点：四种命题及其相互关系，充要条件，常用逻辑用语．
4.如图，阴影部分的面积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
考点：定积分．
5.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． 1 B． 2 C. 8 D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.
考点：线性规划．
6.设函数对任意的，都有，若函数
，则的值是（ ）
A． 1 B． -5或3 C. D．-2
【答案】D
考点：三角函数图象与性质．
7.是所在平面内一点，，为中点，则的值为（ ）
A． B． C. 1 D．2
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，所以，故在中线上，且为靠近的一个四等分点，故.
考点：向量运算．
8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． 5 C. D．6
【答案】A
考点：三视图．
9.已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由于故函数为奇函数，由于为增函数，故等价于，，解得.
考点：函数的奇偶性与单调性．
10.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C.
D．
【答案】A
的纵坐标大于，即，得．
考点：分段函数图象与性质．
11.已知函数，当时，函数在，上均为增函数，
则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
,即满足,在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点与可行域内的点两点连线的斜率，由图可知，所以，即的取值范围为.
考点：函数的图象与性质，线性规划．
【思路点晴】由于题目已知条件“函数在，上均为增函数”，所以函数在这个区间上的导函数，对函数求导得到，由于，所以只需令，
是一个二次函数，因此用二次函数根的分布知识，转化为线性规划来求解.
12.数列满足，，且，则的整
数部分的所有可能值构成的集合是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：递推数列，数列求和．
【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项、数列求和有关问题.对两边取倒数后，有，这个相当于数列求和方法中的列项求和法，由此可以得到，结合数列，为单调递增数列，通过列举法，可求得整数部分有，三种可能.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：依题意可知切线的斜率为，.
考点：直线与抛物线的位置关系．
14.设，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由得，.
考点：基本不等式．
15.已知向量，，且，点在圆上，则
等于 ．
【答案】
考点：向量运算．
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
16.三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面积和最大
时，球的体积为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由于三角形的面积公式，当时取得最大值，所以当两两垂直时，侧面积和取得最大值.此时，由于三棱锥三条侧棱两两垂直，所以可以补形为正方体，三棱锥的外接球即正方体的外接球，其直径等于正方体的体对角线即，故求的体积为.
考点：几何体的外接球．
【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
已知数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
，解得，；当时，，
综上所述，；……………4分
（2）由（1）知，
①
②
①-②得：，
.………………10分
考点：数列及数列求和．
18.（12分）
在中，角的对边分别是，若.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
（1）由正弦定理得：
又∵ ∴
即
又∵ ∴又A是内角 ∴………………6分
（2）由余弦定理得：
∴ 得： ∴
∴ ………………12分
考点：解三角形，正余弦定理．
19.（12分）
如图，是边长为3的正方形，平面，，且，.
（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）为的一个三等分点（靠近点）；（2）.
.
试题解析：
（1）取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴，
∴，且，……………………3分
所以四边形为平行四边形，可知平面，
∵，∴为的一个三等分点（靠近点）；……………5分
（2）如图建立空间直角坐标系：
因为二面角为钝二面角，可得，
所以二面角的余弦值为．……………………12分
考点：空间向量与立体几何．
20.（12分）
已知函数，，其中为实数.
（1）是否存在，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）若集合中恰有5个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）时，；（2）.
【解析】
试题分析：（1），即，解得，所以时，；（2）有相异实根时，
，解得或.，当时，， 有解，不符合题意；当时，，结合函数的单调性和极值可知 有解，不符合题意；当时，，结合函数的单调性和极值可知有解时.
，∴或，有3个相异实根时，………………6分
当时，， =0有1解；
当时，，在上增，上减，上增，极大值，有1解；
当时，，在上增，上减，上增，极小值，要使有3解，只须，∴．………10分
下面用反证法证明时，5个根相异．假设
即两式相减得：
若代入②得0-1=0矛盾；若代入①得，这与矛盾． 所以假设不成立，即5个根相异． 综上，．………………12分
考点：函数导数与零点问题．
21.（12分）
设函数.
（1）当时，设，求证：对任意的，；
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
试题解析：
（1）当时，，
所以等价于.
令，则，可知函数在上单调递增，
所以，即，亦即……………………4分
（2）当时，，．
所以不等式等价于.
方法一：令，，
则.
当时，，则函数在上单调递增，所以，
所以根据题意，知有，∴………………8分
当时，由，知函数在上单调减；
由，知函数在上单调递增.
所以.
由条件知，，即.
设，，则，，
所以在上单调递减.
又，
显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以.
综上可知的取值范围为.………………12分
考点：函数导数与不等式，恒成立问题．
【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.
要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第一问的不等式，可以转化为，第二问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
22.（12分）
设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间内恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在内单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.
试题解析：
（1）
当时，，在内单调递减.………………2分
当时，，有.………………4分
此时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）令，则（易证）
当，时，.
故当在区间内恒成立时，必有.………………6分
所以在时单调递增，所以恒成立，即恒成立，满足题意。综上，．………………12分
考点：函数导数与，恒成立问题．
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.