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- 2021-04-20 发布
河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
3. 下列选项中，说法正确的是（ ）
A．若，则
B．向量垂直的充要条件是
C．命题“”的否定是“”
D．已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题
4. 已知等差数列的公差为5，前项和为，且成等比数列，则（ ）
A．80 B．85 C. 90 D．95
5.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的，则输出的的值为 （ ）
A．4 B．5 C. 8 D．9
6.
某几何体的三视图如图所示（在下边的格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．6
7. 若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）
A．-1 B． C. D．
8. 若满足且的最大值为2，则实数的值为（ ）
A． B． C. 1 D．2
9.若是正数，直线被圆截得的弦长为，则取得最大值时的值为 （ ）
A． B． C. D．
10. 已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C. D．
11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，点在棱上运行，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
12.若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.若二项式展开工的二项式系数之和为64，则含项的系数为 ．
14.已知与的夹角为90°，，且，则的值为 ．
15.已知数列的前项和为，数列为，若，则 ．
16.已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于两点，且的面积为，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
的内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，且成等差数列，求的面积.
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，为的中点，为上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.
（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？
（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比.
21. （本小题满分12分）
已知函数，且在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于两点.
（1）求曲线的普通方程及直线恒过的定点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若，求直线的普通方程.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.
石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）
数学（理科答案）
一、选择题：
1-5 DBDCC 6-10 ABDDB 11-12AD
二、填空题:
13. 20 14.
15． 16..
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，可得……………2分
∴ ，……………4分
即 ．………………6分
（Ⅱ）∵，
由余弦定理，得
又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得
∴，解得．……………8分
由，得，……………10分
∴△的面积．……………12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H,
连接AH,在△PBC中,NH∥BC,
且 ,
∴MN∥平面PAB.
…………………4分
（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，， .
分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则， ，，……………6分
设平面AMN的法向量
则
……………8分
设平面PAN的法向量
……………10分
则
二面角……………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表
正常
偏高
合计
男性
16
4
20
女性
12
8
20
合计
28
12
40
……………2分
…………4分
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系．
………………………5分
（II）由样本数据可知，男性正常的概率为，女性正常的概率为．…………6分
此项血液指标为正常的人数X的可能取值为
=
=
=
=
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
………………11分
所以EX==2.8
此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分
20.（本小题满分12分）
.解：（Ⅰ）由题意得，
点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分
点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
点的轨迹的方程为 …………………4分
（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．
由 ，得，即
由，得到．
∴，……………………6分
解法二：由，当时，，
以为切点的切线的斜率为
以为切点的切线为
即，整理………………6分
令则，
令则，………………7分
点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．
∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分
∴，．
，．……………11分
∴．
△与△面积之比为． ………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I），
，且
以点为切点的切线方程为
即： …………………2分
由得，
代入得：
又为单调递增函数……………………4分
所以可得； ……………………………5分
（II）由（I）可知，
思路：易知：，证明如下：
令
则
当时，
,即： ……………………………7分
思路：易知：，证明如下：
，
显然，当，
，即
又，（当时取等号）. ……………………7分
要证：，即：
只需证：，即证：
令
则，
令……………………………9分
则（只有时，等号成立）
在为增函数，
在为增函数，
，即.…………………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
.解：（I）……..2分
恒过的定点为…….4分
（II）把直线方程代入曲线C方程得：
分
由的几何意义知.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以
………………7分
，，
，…
…………9分
因此，直线直线的方程或分
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）解：分
分
解得：分
（II）法1.化简得
当时
……..6分
当时
……..7分
由于题意得： 即…….8分
或即…….9分
……..10分
法2.
分
分
分