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- 2021-04-20 发布
扶余市第一中学 2017—2018 学年度上学期期中考试
高二数学理科试卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和
答题卡，试题自己保留。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷 （选择题 60 分）
注意事项
1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、
姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合要求.
1．已知 , ,a b c 都是实数，则命题“若 a b ，则 2 2ac bc ”与它的逆命题、否命题、逆否
命题这四个命题中，真命题的个数是 ( )
A． 4 B． 2 C．1 D． 0
2. 抛物线 axy 2 的准线方程为 2x ，则 a 的值为（ ）
A．8 B． 8 C． 4 D． 4
3. 从一批产品中任取 3 件，设 A “三件全是正品”， B “三件全是次品”， C “至
少有一件正品”，则下列结论正确的是 ( )
A. A 与 C 互斥 B. A 与 B 互为对立事件
C. B 与 C 互斥 D. A 与 C 互为对立事件
4．总体由编号为 20,19,,03,02,01 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取5 个个体，
选取方法从随机数表第1行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出
来的第 5 个个体的编号为 （ ）
A． 08 B． 07 C． 02 D． 01
5．用秦九韶算法求多项式 1345.0)( 245 xxxxxf ，当 3x 时，先算的是( )
A． 933 B． 5.121355.0 C． 5.5435.0 D． 5.163)435.0(
6.五张卡片上分别写有 1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取一张，事件 A 为“抽出的
卡 片 上的 数 字 为偶 数 ” ， 事 件 B 为 “ 抽 出 的卡 片 上 的数 字 为 1 ”， 则
)( BAP ( )
A．
5
3 B．
5
1 C．
5
4 D．1
7.某程序框图如图所示，若输出的结果是 62 ，则判断框中可以是( )
A． ?6i B． ?7i C． ?6i D． ?5i
8.实数 0a 是方程 2 2 1 0ax x 至少有一个负数根的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.三棱锥 BCDA 中， 2 ADACAB ， 90BAD ， 30BAC ，则AB
→
·CD
→
等
于（ ）
A． 2 B． 2 C． 32 D． 32
10.在投实心球测试活动中，经过多次测试，小明同学的成绩在 m10~8 之间，小华成绩在
m5.10~5.9 之间，现小明、小华各投一次，则小明投的比小华远的概率是（ ）
A．
16
1 B．
4
3 C．
4
1 D．
16
5
11. 小李在做一份调查问卷，有5 道题，其中有两种题型，一种是选择题共3 道，另一种是
填空题，共 2 道，小李从中任选 2 道解答，每一次选1题（有放回），则所选题目是同一种
题型的概率为（ ）
A．
25
12 B．
25
13 C．
5
2 D．
5
3
12. 已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC 的左、右焦点分别为 21,FF , P 为椭圆C 上任一点，
且
|||| 21 PFPF 的最大值的取值范围是 ]3,2[ 22 bb ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. ]2
2,3
3[ B. ]2
2,0( C． )1,3
6[ D. ]3
6,2
2[
（第 7 题图）
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在
试卷上的答案无效.
13．依次投掷两枚均匀的骰子，则所得的点数之差的绝对值为 4 的概率是_______．
14．已知命题 p：∃x0∈R， 02
1
0
2
0 xax ，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围
________．
15．已知双曲线的渐近线方程是 043 yx ，则双曲线的离心率等于________．
16．已知直线 l： )4(3 xy 与抛物线 xy 162 交于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，则
1 1
| | | |AF BF
___________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
某公司经营一批进价为每件 4 百元的商品，在市场调查时发现，次商品的销售单价 x（百元）
与日销售量 y （件）之间有如下关系：
（1）求 y 关于 x 的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程，请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最
大？
相关公式：
xbya
xnxx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii
ˆˆ,
)(
ˆ
1
22
1
.
18．（本小题满分 12 分）
某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次
生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为
“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率
第一组 [25，30) 120 0.6
第二组 [30，35) 195 p
第三组 [35，40) 100 0.5
（1）补全频率分布直方图，并求 n，a，p 的值；并利用频率分布直方图估计平均数；
（2）从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取 6 人参加户外低碳体验
活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40，45)岁的概率．
19．（本小题满分 12 分）
已知两点 M(－1，0)、N(1，0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN
→
|·|MP
→
|＋MN
→
·NP
→
＝0，
求动点 P(x，y)的轨迹方程．
20．（本小题满分 12 分）
如图，正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 2 ， GFE ,, 分别为 11111 ,, CBDCCC 的中点．
（1）求证： DG 平面 BEF ；
（2）求直线 AE 与平面 BEF 所成角的正弦值．
21．（本小题满分 12 分）
在四棱锥 ABCDS 中，底面 ABCD 为正方形， SA 平面 SCD ，已知 2 SDSA ， F 为线
段 SD 的中点．
第四组 [40，45) a 0.4
第五组 [45，50) 30 0.3
第六组 [50，55] 15 0.3
A
1A
B
1B
C
1C
D
1D
E
F
G
(1) 求证： //SB 平面 ACF ；
(2) 求二面角 SBFC 的余弦值．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C : )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的离心率为
2
2 ，直线 2: yl 上的点和椭圆C 上的
点的距离的最小值为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆 C 的左焦点 1F 且不与坐标轴垂直的直线 m 交椭圆 C 于 BA, 两点，线段 AB 的
垂直平分线与 x 轴交于点 N ，点 N 的横坐标的取值范围是 )0,3
1( ，求 || AB 的取值范围．
高二数学理科答案
一．选择题：
BBCDC，ACBCA，BD
二．填空：
13. 14. 15.
16.
三．解答题：
17.
18.(1)第二组的概率为 1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
所以
频率
组距＝0.3
5 ＝0.06.
频率分布直方图如下：
第一组的人数为120
0.6＝200，频率为 0.04×5＝0.2，所以 n＝200
0.2＝1 000.
因为第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3＝300，所以 p＝195
300＝0.65.
第四组的频率为 0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150.
所以 a＝150×0.4＝60.
平均数： 岁.
(2) 因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为 60∶30＝2∶
1，所以采用分层抽样法抽取 6 人，[40，45)中有 4 人，[45，50)中有 2 人．设[40，45)中的
4 人为 a，b，c，d，[45，50)中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队的情况有(a，b)，(a，
c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，
m)，(d，n)，(m，n)，共 15 种，其中恰有 1 人年龄在[40，45)岁的情况有(a，m)，(a，n)，
(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d， m)，(d，n)，共 8 种，所以选取的 2 名领队中恰有 1
人年龄在[40，45)岁的概率 P＝ 8
15.
19.解 ， ，
又因为|
MN
→ |·|
MP
→ |＋MN
→ ·NP
→＝0，所以
整理得：
20.(1)如图建立空间直角坐标系，D 为原点，
,
又因为 ，所以 平面 .
(2) 设平面 的法向量为
因为 所以 令 所以 又因为
设直线 与平面 所成角为 ，所以 .
21.证明：设 AC，BD 相交于点 O，连接 OF，
因为 ABCD 为正方形，所以 O 为 BD 的中点，因为 F 是 SD 的中点，
所以 OF//SB 又因为
所以 平面 ；
(2)
以 DS 为 X 轴 ， DC 为 Y 轴 ， 如 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ：
设平面 BFS 的法向量为
法二：以 S 为原点，SC 为 y 轴，则
平面 CBF 的法向量为
平面 BFS 的法向量为 结果同上
22. （1）由题知 所以椭圆 的方程：
（2）设直线 联立 整理得：
记 线段 中点
可得
故点 直线 方程为
所以， 所以 即
（3）