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- 2021-04-20 发布
高三数学（文）考试题
命题人：蔡永强 校对人：蔡永强 印数：330（文） 时间：20171008
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
A．2i B．-2i C．2 D．-2
2、设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2-1＜0}，则A∪B＝( )
A．(-1，1) B．(0，1) C．(-1，＋∞) D．(0，＋∞)
3、抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4、某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5， 20), [20，22.5), [22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
5、甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上，乙正好坐中间的概率为( )
A. B. C. D.
6、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
7、设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋2y
的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8、执行如图所示的程序框图，输出的s的值为( )
A．8 B．9
C．27 D．36
9、函数f(x)＝
若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为( )
A．1 B．1，-
C．- D．1，
10、在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，则·＝（ ）
A．6 B．9 C．27 D．36
11、如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，以A，B为焦点，且过D，E的
椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
12、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝
14、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(ab)2＋6，C＝，则△ABC的面积为
15、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝11，a4＋a6＝6，则当Sn取最小值时，n等于
16、已知函数f(x)＝ 若方程f(x) a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10costsint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
18．（本小题满分12分）
各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn2an1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(Ⅰ)求a1，a2的值；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．
20．（本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月
10号
2月
10号
3月
10号
4月
10号
5月
10号
6月
10号
昼夜温
差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人
数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该兴趣小组所得的线性回归方程是否理想？
参考公式：
21．（本小题满分12分）
已知：椭圆＋＝1(a>b>0)，过点A(-a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(-1，0)与椭圆交于E，F两点，若＝2，求直线EF的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝xf(x)ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．
高三数学（文）考试题答案
1、解：(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝2i.故选A.
2、解：易知A＝(0，＋∞)，B＝{x|-1＜x＜1}，所以A∪B＝(-1，＋∞)．故选C.
3、解：由抛物线的标准方程为x2＝y，可知＝，所以焦点坐标是.故选C.
4、解：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200×(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝140(人)．故选D.
5、解：甲、乙、丙坐一排的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，乙正好坐中间的基本事件有2个．故所求概率P＝＝.故选B.
6、解：由图可知该几何体由半个圆柱和半个球体组合而成，则S表＝4πr2×＋πr2×2＋πr·2r＋2r·2r＝16＋20π，解得r＝2.故选B.
7、解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝-x＋z，由图可知，当直线
y＝-x＋z经过点(1，1)时，z取得最小值3.故选B.
8、解：初始值k＝0，s＝0.第一次循环得s＝0，k＝1；第二次循环得s＝1，k＝2；第三次循环得s＝9，k＝3>2，退出循环，输出的s值为9.故选B.
9、解：f(1)＝1，当a≥0时，f(a)＝ea-1，所以1＋ea-1＝2，所以a＝1；当-10，所以an＋1-an＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
所以an＝2n-1.
19．（本小题满分12分）
解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，
又因为AB＝1，则AB＝CE.
又CE∥AB，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．
因为AD＝3，所以BC＝AE＝AD-DE＝2，
SABCD＝(BC＋AD)·AB＝(2＋3)×1＝，
VPABCD＝SABCD·PA＝××1＝.
于是四棱锥PABCD的体积为.
20．（本小题满分12分）
解：(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件M，1至6月份的这6组数据依次用A，B，C，D，E，F表示，因为从6组数据中选取2组数据共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P(M)＝＝.
(2)由数据求得＝11，＝24.
由公式求得＝.
再由＝－，求得＝－.
所以y关于x的线性回归方程为＝x－.
(3)当x＝10时，＝，＝＜2；
当x＝6时，＝，＝＜2.
所以，该小组所得的线性回归方程是理想的
21．（本小题满分12分）
解：(1)由题意知＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线EF的方程为x＝my-1(m>0)，代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2-2my-2＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝2得y1＝-2y2.
由y1＋y2＝-y2＝，y1y2＝-2y＝可得＝，所以m＝1或m＝-1(舍去)，
所以直线EF的方程为x＝y-1，即x-y＋1＝0
22．（本小题满分12分）
解：(1)f(x)＝，x∈(-∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝.当f ′(x)＝0时，x＝1.
f ′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞，0)
(0，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
-
-
0
＋
f(x)
↘
↘
极小值
↗
故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(-∞，0)和(0，1)．
(2)g(x)＝ex-ax＋1，x∈(0，＋∞)，所以g′(x)＝ex-a，
①当a≤1时，g′(x)＝ex-a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．
②当a>1时，令g′(x)＝ex-a＝0，得x＝lna，
令g′(x)＝ex-a>0，得x∈(lna，＋∞)；
令g′(x)＝ex-a<0，得x∈(0，lna)．
故g(x)在(0，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，
所以g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝lna.
故实数a的取值范围是a>1.