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- 2021-04-20 发布
2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试
数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2.若复数，其中为虚数单位，则 = （ ）
A．1− B．1+ C．−1+ D．−1−
3. “一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4. 二项式的展开式中常数项为 （ ）
A． B． C． D．
5.若向量,且，则的值是 （ ）
A． B． C． D．2
6.点P为直线上任一点，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
7.设函数，若关于x的方程
恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8.已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值是 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且，，若，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10.点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形，
各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是
____________.
第11题
12.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字，
随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出
一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将
其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望
是_______；（2）当时的概率是_______。
13.设是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上，则______ ,__________.
14.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_______，面积是________。
15.对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是________。
16.设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.
17.已知A是射线上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆 相切，则的最小值是________.
三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. （本题满分14分）已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，
（1）求角A的值；
（2）求函数在区间的值域。
19. (本题满分15分)如图四边形PABC中，，，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），
（1）求证：平面PAC；
（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。
20. (本题满分15分)定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，
（1）当时，求函数在D上的上界的最小值；
（2）记函数，若函数在区间上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。
21. (本题满分15分)椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。
22. (本题满分15分)已知数列满足，
(1)若数列是常数列，求m的值；
（2）当时，求证：；
（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。
2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
A
C
D
B
D
C
5.解：A。.
6.若，则点P的轨迹是以为焦点的双曲线，其方程为。因为直线是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有。
7.作出函数的图象.因为由方程,得或.显然有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得, 实数a的取值范围是.
8.当 时，，得 。当 时，有，两式相减得 。再考虑到，所以数列是等比数列，故有。因此原不等式化为，化简得，得 ，所以n的最大值为9.
9.利用向量知识可知，点落 在平面直角坐标系中两直线及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内。又因为，其中 表示点 与点Q连线的斜率。由图形可知，所以。
10.直线DP在过点D且与BM垂直的平面内。又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆。可求得点O到此平面的距离为，截得小圆的半径为，所以以点P的轨迹的长度为。
二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11. 、 12. 、
13. 、 14. 、
15.
16. 44对
17.
分析：
0
1
2
4
p
11.解： ， 。易知此几何体是半个圆锥。
12.解：， 。可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。当时的概率是
13.解： ；。由于的周期为，则 ，即，解得。 此时。
14.解：。因为焦点为，所以抛物线的方程是 。设，由抛物线的对称性可知， 。又因为 ，得 ，解得（不妨取正值），从而可得。
15.解：。原不等式可化为
恒成立，因此只要求 的最小值。因为，所以，且当时取到最小值为2. 因此有，解得
16.解：44对。由条件可得。当时，显然不成立；当时，则，所以，符合条件的集合对有1对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对。
17.解一：。设，则直线AB的方程是。因为若直线AB与圆相切，所以，化简得，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，的最小值是
解二：在中，设，则利用面积可得，得。
由余弦定理得，，即
，解得，即有
解三：设切点C点，，，则，，即，整理得 ，解得，即的最小值是。
三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. (本题满分14分)
已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，
（1）求角A的值；
（2）求函数在区间的值域。
解：（1） 因为，
由正弦定理得，…………………………2分
即。
因为，得， ………………………………………………4分
所以，………………………………………………………………………6分
解得 …………………………………………………………………………………7分
（2）由上可得， ………………………………………………………………8分
所以。…11分
因为，
所以，…………………………………………………………………………12分
故函数的值域为。 ……………………………………………………………14分
19. (本题满分15分)
如图四边形PABC中，，，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），
（1）求证：平面PAC；
（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。
解：（1）连AO，因为平面ABC，得。
又因为，得平面PAO，。………………………………………3分
因为是PA与平面ABC的角，。
因为，得。
在中，，故有，………………………………6分
从而有，得平面PAC。 ……………………………………………………8分
（2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，则是二面角P－BC－A的平面角。
在中，易知，
所以…………………………15分
另解：（1）同上
（2）以OB、OA、OP为x、y、z轴，建立坐标系，可得。
可求得平面ABC的法向量是，平面PBC的法向量是，所以二面角P－BC－A大小的余弦值是，即
20. (本题满分15分)
定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，
（1）当时，求函数在D上的上界的最小值；
（2）记函数，若函数在区间上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。
解：（1）因为，，
得， ……………………………………………………………………1分
得或， ………………………………………………………………2分
故可得函数在区间上单调递增，区间是单调递减。 ………………3分
因为，
所以 ， ……………………………………………………5分
，故有上界，即上界的最小值是。……………………………………7分
（2）因为， …………………………………………………………8分
故有函数，
令，因为，得。
因为函数在区间上是以3为上界的有界函数，
得在区间上恒成立 ，
即 ，……………………………………………………………………11分
得在区间上恒成立。 ………………………………………12分
记 ，
当时，单调递增，
所以；单调递减，，
所以实数的取值范围是。 ……………………………………………15分
（另解：利用函数的最值求解。
当时，函数在区间上单调递增，
所以只要 ，解得 ，所以；
当时，函数在区间上单调递减，在区间 单调递增，
所以只要 ，解得 ，所以；
当时，函数在区间上单调递减，
所以只要 ，解得 ，所以
综上可知，实数的取值范围是）
21. (本题满分15分)
椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G
的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。
解：（1） ………………………………………………………………3分
（2），
因为 ，所以，即的取值范围是。…………8分
（3）设圆M，其中，
则。 ………………………………………………10分
由于，则， ………………………………12分
即，代入，
得对圆M上任意点N恒成立。
只要使，即，
经检验满足，故存在符合条件的圆，它的方程是。 ……15分
22. (本题满分15分)已知数列满足，
(1)若数列是常数列，求m的值；
（2）当时，求证：；
（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。
解：（1）若数列是常数列，则，
得。显然，当时，有。 …………………………………………3分
（2）由条件得，得。 ………………5分
又因为，，
两式相减得。 ……………………7分
显然有 ，所以与同号，而，所以，从而有。…………………………………………………………………………………………9分
（3）因为， …………………10分
所以 。
这说明，当时，越来越大，显然不可能满足。
所以要使得对一切整数n恒成立，只可能。…………………………………12分
下面证明当时，恒成立。用数学归纳法证明：
当时，显然成立。
假设当时成立，即，
则当时，成立。
由上可知对一切正整数n恒成立。
因此，正数m的最大值是2. …………………………………………………15分
数学第21题第二问中的EF改为AB，N改为G
数学第21题第二问的参考答案为两个（如图），无论哪个都判定为正确。答案中的E、F、N无论用什么其他字母代替也都判定为正确。