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- 2021-04-20 发布
2019学年度第二学期月考
高二理科数学试卷
数学I 2018.06
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B是 ▲ .
2.函数的定义域是 ▲ .
3.函数y＝x2－ln x的单调递减区间是 ▲ .
4.曲线y＝ +1在点处的切线的斜率是 ▲ .
5.已知命题：若函数是偶函数,则；命题：，关于的方程有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）
①；②；③；④
6.若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝ ▲ .
7.已知,,则= ▲ .
8.已知f(x)是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示是 ▲ .
9.设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是 ▲ .
10.“”是“函数在区间内单调递增”的 ▲ 条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
11.已知函数是定义在上的周期为4的奇函数，当时，
，则 ▲ .
12.已知函数f(x)＝x2(x－a)．若若存在， 且，使得成立，则实数a的取值范围是 ▲ .
13.定义在上的奇函数的导函数满足，且，
- 11 -
若，则不等式的解集是 ▲ .
14. 定义域为的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当时，，
若时，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知命题p：指数函数在R上是单调减函数；命题q：关于的方程的两根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的范围．
16．（本小题满分14分）
已知函数且k>0)．
(1) 求函数的定义域；
(2) 若函数在[10，＋∞)上单调递增，求k的取值范围．
17．（本小题满分15分）
函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
- 11 -
18．（本小题满分15分）
已知函数.
(1)设，求函数的极值；
(2)在(1)的条件下，若函数(其中为的导
数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
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20．（本小题满分16分）
已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；
（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）
数学Ⅱ（附加题）
1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝ln(2x－5)．
2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？
3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
- 11 -
(1)求X的分布列、期望；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，V(Y)＝11，试求a，b的值．
4.（本小题满分10分）设(1+x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2.
(1)若n＝11，求a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11的值；
(2)设bk＝ak(k∈N，k≤n)，Sn＝b0＋b1＋b2＋…＋bn，求Sn的值．
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考
理数学I
一、填空题：
1.{0,2,4}；2.；3. (0,1]；4. ；5.①④；6. ±1；7. 15；8.；9. (－∞，]；10.充分必要；11. ；12. ； 13. ；14.或
二、解答题： 15．（本小题满分14分）
已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的范围．
解：由p真得0<2a－6<1，即3；……………8分
若p或q为真，p且q为假，则p、q一真一假．
若p真q假，则解集为； ……………10分
若p假q真，则解得0)．
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 若函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，求k的取值范围．
解：(1) 由>0，k>0，得>0，当0；
当k＝1时，得x∈R且x≠1；当k>1时，得x<或x>1.
综上，当00，∴ k>.
又f(x)＝lg＝lg，由题意，对任意的x1、x2，当10≤x1，∴ k－1<0，即k<1.
综上可知，k的取值范围是. ……………14分
17．（本小题满分15分）
函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. ……………5分
(2)f(x)为偶函数． ……………7分
- 11 -
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． ……………10分
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝ ……………8分
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分
所以W取最大值为5 760.
综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万元．…………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；
（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）
解：（1）＞0. 而＞0lnx+1＞0
＞＜0＜00＜＜
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………5分
（2）设切点坐标为，则切线的斜率为
所以切线的方程为………………7分
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又切线过点，所以有
解得所以直线的方程为…………………10分
（3），则
＜0＜00＜＜＞0＞
所以在上单调递减，在上单调递增.
①当即时，在上单调递增，
所以在上的最小值为 ……12分
②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.在上的最小值为 ……14分
③当即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为
综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；
当时，的最小值为 ………………16分
数学Ⅱ（附加题）
1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：
(1)y＝； (2)y＝ln(2x－5)．
解 (1)y′＝＝
＝.
(2)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
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2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？
解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种抽调方法.故共有C＋A＋C＝84种抽调方法.
3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，V(Y)＝11，试求a，b的值．
解：(1)X的取值为0,1,2,3,4，其分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
(2)由V(Y)＝a2V(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
所以或
4.（本小题满分10分）设(1+x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2.
(1)若n＝11，求a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11的值；
(2)设bk＝ak(k∈N，k≤n)，Sn＝b0＋b1＋b2＋…＋bn，求Sn的值．
解：(1)因为ak＝C，
当n＝11时，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝C＋C＋C＋C＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C＋C)＝210＝1 024.
(2)左边=．
- 11 -
证法二求导积分赋值法：
两边同时乘以
两边再对求导可得 令可得
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