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- 2021-04-20 发布
抽象函数常见题型汇编
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、 定义域问题
(一) 已知的定义域，求的定义域，
解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1： 设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______
解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为
（2）由已知，得，解得，故的定义域为
(二) 已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2： 函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填
(一) 已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题1： 函数定义域是，则的定义域是_______
解析：先求的定义域，的定义域是，
，即的定义域是
再求的定义域，，
的定义域是
(二) 运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题2： 函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即
函数的定义域由确定
函数的定义域是
【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，
所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是［1，4］
【巩固1】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得
所以函数的定义域是
【巩固2】 定义域为，则定义域是__。
解析：因为及均相当于中的x，所以
(1)当时，则; (2)当时，则
一、 解析式问题
1. 换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例题1： 已知 ,求.
解析：设,则∴∴
2. 凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例题2： 已知，求
解析：∵
又∵，∴，(||≥1)
1. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例题1： 已知二次实函数，且+2+4,求.
解析：设=，则
=比较系数得∴
2. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例题2： 已知=为奇函数,当 >0时,,求
解析：∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。
∵->0,∴,
∵为奇函数，∴
∴当<0时∴
例题3： 为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.
解析：∵为偶函数，为奇函数，∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即－……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出
1. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式
例题1： 设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求
解析：∵的定义域为N，取=1,则有
∵=1,∴=+2,……
以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴
【巩固1】 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数
A. B. C. D.
解析：要求的解析式，
实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。
点关于直线的对称点适合，
即。又，
，即，选B。
【巩固1】 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解析：在中以代换其中x，得：
再在(1)中以代换x，得
化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
一、 求值问题
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例题1： 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解析：取，得
因为，所以
又取，得
例题1： 定义在R上的函数满足：且，求的值。
解析：由，以代入，有，
为奇函数且有，又由
是周期为8的周期函数，
【巩固1】 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
解析：在条件中，令，得
，
又令，得，
【巩固2】 已知是定义在R上的函数，且满足：，
，求的值。
解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是
，
所以，故是以8为周期的周期函数，
从而
一、 值域问题
例题1： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解析：令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有
下面来证明，对任意
设存在，使得，则
这与上面已证的矛盾，因此，对任意
所以
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
【巩固1】 已知函数对任意实数有，且当时
，求在上的值域。
解析：设，且，则，
由条件当时， ，
又，为增函数，
令，则
又令 ，得 ，，故为奇函数，
，
上的值域为
一、 求参数范围或解不等式
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例题1： 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解析：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，
由得。
（1）当时，，不等式不成立。
（2）当时，
（3）当时，
综上所述，所求的取值范围是。
例题2： 是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
解析：：
对恒成立
对恒成立
对恒成立，
【巩固1】 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。
解析：由单调性，脱去函数记号，得
由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有
【巩固2】 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解析：设且，则，
，即
故为增函数，
又，
因此不等式的解集为。
一、 单调性问题
例题1： 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而，所以
又当时，，所以对任意，恒有
设，则
∴，∴在R上为增函数
例题2： 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函是减函数，并证明你的结论。
证明：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：
任取
因为在上是减函数，所以。
又是偶函数，所以，
从而，故在上是增函数。
【巩固1】 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
解析：画出满足题意的示意图1，易知选B。
一、 奇偶性问题
例题1： 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。
解析：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
【巩固2】 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。
证明：设图象上任意一点为P（）
与的图象关于原点对称，
关于原点的对称点在的图象上，
又，
即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。
一、 周期性问题
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
1. ，则是以为周期的周期函数；
2. ，则是以为周期的周期函数；
3. ，则是以为周期的周期函数；
4. ，则是以为周期的周期函数；
5. ，则是以为周期的周期函数.
6. ，则是以为周期的周期函数.
7. ，则是以为周期的周期函数.
8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.
9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以
为周期的周期函数；
10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；
11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；
例题1： 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。
证明：
得
由（3）得
由（3）和（4）得。
上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。
例题2： 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有
，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。
故是周期函数，2c是它的一个周期。
【巩固1】 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。证明f(x)是周期函数。
证明：依题设关于直线对称,故
又由是偶函数知
,将上式中以代换，得
这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期
是偶函数的实质是的图象关于直线对称
又的图象关于对称，可得是周期函数,且2是它的一个周期
由此进行一般化推广，我们得到
思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于直线对称.
又由是偶函数知,
将上式中以代换，得
是上的周期函数,且是它的一个周期
思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于直线对称
将上式的以代换得
是上的周期函数,且是它的一个周期
若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？我们得到
思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，
证明：关于对称,
又由是奇函数知
将上式的以代换，得
是上的周期函数,且4是它的一个周期
是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到
思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于点对称，
关于直线对称，
将上式中的以代换，得
是上的周期函数，且是它的一个周期
由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到
思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于对称
将上式中的以代换，得
是周期函数，且是它的一个周期
一、 对称性问题
（1）对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;
⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到
轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。
⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。
（2）抽像函数的对称性
1、函数图像本身的对称性（自对称问题）
（1）轴对称
①的图像关于直线对称
② 的图像关于直线对称.
特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.
（2）中心对称
①的图像关于点对称
。
② 的图像关于点对称.
特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.
（3）对称性与周期性之间的联系
①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；
特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；
②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；
③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。
特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。
2、两个函数图像的对称性（互对称问题）
（1）函数与图像关于直线对称。
（2）函数与图像关于直线对称
（3）函数与图像关于直线对称
（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称。
（6）函数与图像关于轴对称。
（7）函数与图像关于直线成轴对称。
（8）函数与图像关于直线成轴对称。
（9）函数与的图像关于直线对称。
（10）函数与的图像关于直线对称。
（11）函数有反函数，则和的图像关于直线
对称。
（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图像关于原点对称。
例题1： 函数满足，求值。
解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。
所以
将上式中的x用代换，得
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
一、 综合问题
1) 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例题2： 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
解析：且，
又时，是增函数，
是偶函数，，故
2) 讨论方程根的问题
例题3： 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。
分析：由知直线是函数图象的对称轴。又
有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。
1) 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。
例题1： 若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称
解析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。
例题2： 若函数的图象过点（0，1），则的反函数图象必过定点__
解析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。
【巩固1】 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0