2017-2018学年广西来宾市高二上学期期末教学质量调研数学（文）试题（解析版） 12页

‎2017-2018学年广西来宾市高二上学期期末教学质量调研数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若点为椭圆上一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，则： ，‎ 据此可得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．函数的减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为，‎ 其导函数： ，‎ 令则： ，求解对数不等式可得： ，‎ 即函数的减区间为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3．双曲线的焦距为（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的标准方程即： ，‎ 则： ，‎ 双曲线的焦距为： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式有： ，‎ 由题意可得： ，‎ 则函数在点处的切线的斜率为： ，‎ 据此可得曲线在点处的切线方程为，‎ 即.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．‎ ‎ (2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ ‎5．已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】两个完全平方的和等于零，故.故，解得，所以.‎ ‎6．若圆与轴的交点是抛物线的焦点，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的方程中，令有： ，‎ 据此可得抛物线的焦点坐标为，‎ 则： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎7．在等差数列中，已知，则该数列的前12项和等于（ ）‎ A. 36 B. 54 C. 63 D. 73‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B ‎8．在下列四个命题中，‎ ‎①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；‎ ‎②若，则；‎ ‎③“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题， 为假命题．‎ 正确的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据充要条件的包含关系可知①正确.如， ，故②错误. 解得，与没有包含关系，故③错误.对于④，有可能为假命题， 为真命题，故④错误.综上所述，只有个正确，故选.‎ ‎9．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 17 B. 18 C. 19 D. 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】很明显等比数列的公比，‎ 由题意结合等比数列的通项公式有： ，‎ 则： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎10．在中，角的对边分别为，若且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理得，而，即，故.‎ ‎11．已知，则的最小值为（ ）‎ A. 24 B. 28 C. 32 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知： ，‎ 由可得： ，则：‎ 当且仅当时等号成立，‎ 综上可得： 的最小值为32.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，由题意可知函数是定义在上的奇函数，‎ 当时， 在区间上单调递减，‎ 且，‎ 原问题等价于，函数的草图所示，‎ 结合函数图像可得不等式的解集为.‎ 本题选择D选项.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是 ____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原命题是全称命题，其否定为.‎ ‎14．已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，‎ 其最大值为： .‎ ‎15．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点为，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不妨假设点为双曲线的焦点，则点位于双曲线的左支，‎ 由双曲线的方程可知，结合中点坐标公式可得： ，‎ 由通项公式可得： ，‎ 则双曲线的离心率.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎16．已知函数的极大值为正，极小值为负，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的解析式可得： ，‎ 令可得： ，据此有：‎ ‎　‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 结合题意可得：‎ 函数的极小值，‎ 则： ，该不等式恒成立，‎ 函数的极大值，‎ 则： ，解得： ，‎ 综上可得：实数的取值范围为.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为， 为的面积，若．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得的大小，进而求得的值.（2）结合（1）用的余弦定理，化简得出，结合可求出点的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由有，得，‎ 由可得，故．‎ ‎（2）由余弦定理有： ，得，即，可得，由，解得： ．‎ ‎18．已知命题 “函数的定义域为”，命题 “函数 是上的增函数”，若或为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：‎ 当命题为真时： ，则，当命题为真时： ，则，‎ 考查或为假，据此可得，则或为真时实数的取值范围为或.‎ 试题解析：‎ 当命题为真时： ，得，‎ 当命题为真时： ，得，‎ 或为真的反面为或为假，即假且假，此时，可得： ，‎ 故或为真，实数的取值范围为或.‎ ‎19．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：‎ 利用y轴截距方程，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，由弦长公式可得 ，求解方程可得，则直线的方程为： 或.‎ 试题解析：‎ 设直线的方程为，整理为： ，‎ 代入方程整理为： ，故有， ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故有，整理为，解得，‎ 故直线的方程为： 或.‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎20．已知等差数列， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得到关于首项、公差的方程组： ，求解方程组有，则数列的通项公式为： .‎ ‎（2）结合(1)的结论可得，裂项求和有.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公差为，有，解得，‎ 数列的通项公式为： .‎ ‎（2）由 ，‎ 故 .‎ ‎21．已知椭圆，椭圆，长轴长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，点在直线上，点在椭圆上，且，‎ 求长度的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)2‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意知，结合离心率公式可得，则，椭圆方程为： .‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标为，则，‎ 由， 可得，则，‎ ‎ ，结合均值不等式的结论可知长度的最小值为2.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知， ，得， ，‎ 椭圆方程为： .‎ ‎（2）设点的坐标为，点的坐标为，则有，得，‎ 由， ，则，可得，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 由 （当且仅当时取“”），‎ 故长度的最小值为2.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，判断函数在区间的零点个数.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 当时，有一个零点为；当时，没有零点；当时，有两个零点.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数的解析式可得，分类讨论：‎ ‎①当时，函数的增区间为，无减区间；‎ ‎②当时，函数的增区间为、，减区间为；‎ ‎③当时，函数的增区间为、，减区间为.‎ ‎（2）由， ， ，分类讨论可得：‎ ‎①当时，函数在区间仅有一个零点为；‎ ‎②当时，函数在区间没有零点；‎ ‎③当时，函数在区间有两个零点.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ，‎ ‎①当时， ，故函数的增区间为，无减区间；‎ ‎②当时，令，得或，‎ 故函数的增区间为、，减区间为；‎ ‎③当时，令，得或，‎ 故函数的增区间为、，减区间为.‎ ‎（2）由， ， ，‎ ‎①当时， ，此时函数在区间仅有一个零点为；‎ ‎②当时， ，此时函数在区间没有零点；‎ ‎③当时， ， ，此时函数在区间有两个零点.‎ 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.‎