数学理卷·2018届河南省长葛市第一高级中学高三12月月考（2017 9页

河南省长葛市第一高级中学2017-2018学年高三12月月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设，为虚数单位，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则中整数元素的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．已知向量，，则“”是“与反向”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（ ）‎ A．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ B．依次成公比为2的等比数列，且 ‎ C．依次成公比为的等比数列，且 ‎ D．依次成公比为的等比数列，且 ‎5．若函数在上递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．36 B．42 C．48 D．64‎ ‎7．定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设变量满足约束条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：‎ ‎：若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.‎ 在下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设，定义运算：则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎11．设为数列的前项和，，且，记为数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．1 ‎ ‎12．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设向量满足，则 ．‎ ‎14．函数的值域为 ． ‎ ‎15．若函数的图象相邻的两个对称中心为，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则 .‎ ‎16．如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，，，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求.‎ ‎18．设为数列的项和，，数列满足，.‎ ‎（1）求即；‎ ‎（2）记表示的个位数字，如，求数列的前项和.‎ ‎19．已知向量，函数，.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）求在上的值域；‎ ‎（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，，平面，，，，且.‎ ‎（1）若为上一点，且，证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21．已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.‎ ‎（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；‎ ‎（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当，比较与的大小；‎ ‎（2）设，若函数在上的最小值为，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：BBCDB 6-10：CCDAB 11、12：AA 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）解：∵，∴，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，从而.‎ ‎（2）∵，∴为锐角，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）当时，，‎ 由于也满足，则 ‎∵，，∴，‎ ‎∴是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴的前5项依次为1,3,5,7,9.‎ ‎∵，的前5项依次为3,5，7,9,1‎ 易知，数列与的周期均为5，‎ ‎∴的前20项和 ‎.‎ ‎19、(1)∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴或.‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故在上的值域为.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴的图象关于直线对称.‎ ‎20、（1）证明：由底面，得，‎ 又，故平面 ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵，‎ ‎∴，则 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设是平面的法向量，则 即 令，得，‎ 设是平面的法向量，则 即 令，得，‎ ‎∴，‎ 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.‎ ‎21、（1）∵，∴令得，‎ 由题意可得，解得 故，.‎ ‎（2），，‎ 当时，无极值；‎ 当，即时，令得；‎ 令得或 ‎∴在处取得极小值.‎ 当，即时，在上无极小值，‎ 故当时，在上有极值，‎ 且极小值为 即 ‎∵，∴，‎ 又，故.‎ ‎22.解：（1），‎ 构造函数，‎ ‎，‎ 当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 故当时，，‎ 即，即.‎ ‎（2）由题可得，则，‎ 由得到，设，，‎ 当时，；当时，；‎ 从而在上递减，在上递增，‎ ‎∴‎ 当时，，即（或，设，证明亦可得到）‎ 在上，，，递减；‎ 在上，，，递增；‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得.‎