2018届二轮复习　数列求和及综合应用课件（全国通用） 41页

第 2 讲　数列求和及综合应用 高考导航 热点突破 备选例题 阅卷评析 高考导航 演真题 · 明备考 真题体验 答案 : (-2) n-1 2.( 2017 · 全国 Ⅱ 卷 , 理 15 ) 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 3 =3,S 4 =10, 则 = 　　　　　 .  3.( 2015 · 全国 Ⅱ 卷 , 理 16 ) 设 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 a 1 =-1,a n+1 =S n S n+1 , 则 S n = 　　　　 .   4.( 2014 · 全国 Ⅱ 卷 , 理 17 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 =3a n +1. (1) 证明 是等比数列 , 并求 {a n } 的通项公式 ; 5.( 2015 · 全国 Ⅰ 卷 , 理 17 )S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 , 已知 a n >0, +2a n =4S n +3. (1) 求 {a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = , 求数列 {b n } 的前 n 项和 . 考情分析 1. 考查角度 (1) 以 a n ,S n 的关系为切入点 , 考查求数列通项、前 n 项和等基础知识和基本方法 . (2) 在考查等差数列、等比数列基本运算的同时 , 考查数列求和以及不等式的证明 ( 主要是放缩法 ). 求和的常用方法有 : 分组求和、裂项求和、错位相减求和 . (3) 给出递推式求数列的通项也有所体现 . 2. 题型及难易度 (1) 选择题、填空题、解答题均有可能 . (2) 填空题中数列求和难度较大 , 解答题中的数列求和较为简单 , 但涉及不等式证明的题有一定的难度 . 热点突破 剖典例 · 促迁移 热点一 数列的通项 考向 1 　由 S n 与 a n 的关系求 a n 【 例 1】 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2 +2n-1(n∈ N * ), 则 a 1 = 　　　　 ; 数列 {a n } 的通项公式为 a n = 　　　　 .   【 方法技巧 】 已知 S n 与 a n 的关系式求 a n 的方法 数列的通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系是 a n = 当 n=1 时 ,a 1 若适合 S n -S n-1 , 则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 a n ; 当 n=1 时 ,a 1 若不适合 S n -S n-1 , 则用分段函数的形式表示 . 考向2　已知a n 与a n+1 的递推关系求a n 【例2】 (1)( 2017 · 西藏林芝一中三模 )已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 =a n +2 n ,则a 10 = 　　　　　 .   答案 : (1)1 023 (2)( 2017 · 南充三模 ) 已知数列 {a n } 满足 a n+1 =3a n +2, 若首项 a 1 =2, 则数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 　　　　　 .   【 方法技巧 】 由递推关系求通项公式的常用方法 (1) 累加法 :a n+1 -a n =f(n) 型式常用累加法 . (2) 累积法 : =f(n) 型式常用累积法 . (3) 构造等比数列法 :a n+1 =ka n +p(k≠1,p≠0) 型式常用构造等比数列的方法求 a n . 热点训练 1: (1)( 2017 · 广东湛江一中等四校联考 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 =1,a n+1 =2S n , 则数列 {a n } 的通项公式为 　　　　　　　　 .   (2)( 2016 · 湖南衡阳一模 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 -2a n =2 n (n∈ N * ), 则数列 {a n } 的通项公式为 a n = 　　　　 .   热点二 数列求和 考向 1 　裂项相消法求和 【 例 3】 ( 2017 · 青海西宁二模 ) 已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 4S n -1= +2a n ,n∈ N * . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; 【 方法技巧 】 裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和.适用于数列 { } 的求和,其中{a n }是各项不为0的等差数列,c为常数. 考向 2 　错位相减法求和 (2)若b n =a n · log 3 a n ,求数列{b n }的前n项和. 【方法技巧】 错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和 . 但要注意相减后得到部分等比数列 , 求和时一定要弄清其项数 ; 另外还要注意首项与末项 . 热点训练2: ( 2017 · 江西高三五校联考 )设S n 为数列{a n }的前n项和,且S n =2a n -n+1(n∈ N * ),b n =a n +1. (1)求数列{b n }的通项公式; 解 : (1) 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =2a 1 -1+1, 易得 a 1 =0,b 1 =1; 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =2a n -n+1-(2a n-1 -n+1+1), 整理得 a n =2a n-1 +1, 所以 b n =a n +1=2(a n-1 +1)=2b n-1 , 所以数列 {b n } 构成以首项为 b 1 =1, 公比为 2 的等比数列 , 所以数列 {b n } 的通项公式 b n =2 n-1 ,n∈ N * . (2)求数列{nb n }的前n项和T n . 热点三 数列的综合应用 【 例 5】 ( 2017 · 宁夏固原一中二模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =-a n - ( ) n-1 + 2(n∈ N * ), 数列 {b n } 满足 b n =2 n a n . (1) 求证数列 {b n } 是等差数列 , 并求数列 {a n } 的通项公式 ; 【 方法技巧 】 (1) 数列中的不等式证明 , 大多是不等式的一端为一个数列的前 n 项和 , 另一端为常数的形式 , 证明的关键是放缩 :① 如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得 , 则先求和再放缩 ;② 如果不等式一端的和式无法求和 , 则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和 , 这时先放缩再求和 , 最后再放缩 . 热点训练 3: ( 2017 · 青岛一模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1, 且 a n+1 =2S n +1, n∈ N * . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; 解 : (1) 因为 a n+1 =2S n +1,n∈ N * , n≥2 时 ,a n =2S n-1 +1, 可得 a n+1 -a n =2a n , 即 a n+1 =3a n . n=1 时 ,a 2 =2a 1 +1=3=3a 1 , 满足上式 . 所以数列 {a n } 是等比数列 , 所以 a n =3 n-1 . (2) 令 c=log 3 a 2n ,b n = , 记数列 {b n } 的前 n 项和为 T n , 若对任意 n∈ N * ,λ0), 因为 3b 1 =10a 1 , 所以 3(1+3a 1 )=10a 1 , 所以 a 1 =3. 又 a 2 =a 1 +d=3+d,a 7 =a 1 +6d=3(1+2d), 因为 b 2 -1=9a 2 =9(3+d), 由 a 2 ,a 7 ,b 2 -1 成等比数列得 ,9(1+2d) 2 =9(3+d) 2 , 因为 d>0, 所以 1+2d=3+d,d=2, 所以 a n =3+(n-1)×2=2n+1. (2) 求数列 {b n } 的前 n 项和 S n . 阅卷评析 抓关键 · 练规范 等比数列的判定 【 典例 】 ( 2016 · 全国 Ⅲ 卷 , 理 17,12 分 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =1+λa n , 其中 λ≠0. (1) 证明 {a n } 是等比数列 , 并求其通项公式 ; (2) 若 S 5 = , 求 λ. 【 答题启示 】 (1) 解答数学试题的推理要严谨 , 不能忽视其中的 “ 细节 ” , “ 细节决定成败 ” , 如本题中对 λ≠1 及 a n ≠0 的分析 ; (2) 计算要准确 , 解题中可以忽略计算的非关键步骤 , 但要确保运算结果的准确无误 . 点击进入 限时训练