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- 2021-04-20 发布
赤峰二中2019-2020学年高二年级上学期数学第一次月考试题（文）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
1．命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）．
A． B． C． D．0
2．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段
4．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0 C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0
6．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
7．已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长为， 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C．D．
11．已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．6
12．如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____．
14．函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是__________．
15．设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则_________．
16．在下列命题中：
①方程表示的曲线所围成区域面积为；
②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为；
③与两定点距离之和等于的点的轨迹为椭圆；
④与两定点距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．
正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列各曲线的标准方程．
（1）长轴长为,离心率为,焦点在轴上的椭圆;
(2)已知双曲线的渐近线方程为,焦距为,求双曲线的标准方程．
18．已知命题p：任意，x2-a≥0恒成立；命题q：函数的值可以取遍所有正实数.
(1)若命题p为真命题，求实数a的范围；
(2)若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y＝±x，且双曲线过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的范围．
20．已知点、的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线交动点的轨迹于、两点， 且为线段，的中点，求直线的方程.
21．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．当轴时，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.
22．已知椭圆的方程为：， 且平行四边形的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点．
（1）当弦的中点为时，求直线的方程；
（2）证明：平行四边形的面积为定值
1-5 BDACA 6-10 BCBDA 11-12 CC
13．4
14．
15．3或7
16．①②④
17．（1）；（2）或.
【解析】(1)设椭圆的方程为,
由题意可得2a=12, ,
求解可得,
所以椭圆的标准方程为;
(2)当双曲线的焦点在x轴上时,
设双曲线的方程为
因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,
所以,
求解可得,
所以双曲线的方程为;
当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线的方程为
因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,
所以,
求解可得,
所以双曲线的方程为.
所以双曲线的标准方程为或.
18．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（I）若p为真命题，在恒成立，
（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.
因为命题为假命题, 为真命题,，所以命题一真一假，
①真假，解得；
②假真，解得
综上所述的取值范围是
19．（1）x2－y2＝6.（2）≥－6
【解析】(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，a＝b＝，∴c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，
∴，
∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴，
∴，
∵≥0，∴≥－6.
20．（1）（2）
【解析】（1）设，因为，所以化简
得：
（2）设，当直线轴时，直线的方程为，则，，其中点不是，不合题意
设直线的方程为
将， 代入得
（1）
（2）
（1）-（2） 整理得：
直线的方程为
即所求直线的方程为
21．（1）；（2）见解析
【解析】（1）依题意得，即，
所以当时，解得，当轴时，，
因为，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当与轴重合时，，满足条件；当与轴垂直时，满足条件，
当与轴不重合且不垂直时，设为，，，
把代入，得，
则，，
因为 ，
而，
所以.
22．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）的中点坐标为，
设，∴，
∴，两式相减可得，
即，∴，
∴直线的方程为，即；
证明（2）：当直线斜率不存在时，平行四边形为菱形，易得
设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，
将其代入得，
即
又，
∴，
∵四边形为平行四边形.
∴
∴点坐标为
∵点在椭圆上，∴，整理得
∴
∵点到直线的距离为，
∴.