数学文卷·2018届四川省成都市龙泉第二中学高三1月月考（2018 10页

成都龙泉第二中学 2015 级高三上学期 1 月月考试题 数 学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给的四个答案中有 且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上． 1.已知集合 M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3， 5}，P＝M∩N，则 P 的子集共有(　　) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2. 已知 是虚数单位，复数 （ ） A. 2+i B. 2-i C. -1+i D. -1-i 3.已知 p：|m＋1|＜1，q：幂函数 y＝( －m－1) 在(0，＋∞)上单调递减，则 p 是 q 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题 p：存在 x∈N，x3＜x2；命题 q：任意 a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数 f(x)＝loga(x－ 1)的图像过点(2,0)，则(　　) A.p 假 q 真 B.p 真 q 假 C.p 假 q 假 D.p 真 q 真 5．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A. B. C. D. 6.已知扇形的周长是 4cm,则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. 1/2 D . 3 7.函数 ，则 的图象是（ ） i =+ + i i 1 31 2m mx S 1 0 3− 10−    > ≤ = )1(log )1(3 )( 3 1 xx x xf x )1( xfy −= 8.函数 f(x)＝ ln（－x2＋2x＋3） 1－x ＋x0 的定义域为(　　) A.(－1，1) B.[－1，1) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，3) 9. 如图，已知平行四边形 中， ， ， 为线段 的中点， ， 则 （ ） A. B. 2 C. D. 1 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四 棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8 11. 已知函数 f(x)＝sinωx＋ cosωx(ω＞0)的图像与 x 轴交点的横坐标依次构成 一个公差为 的等差数列，把函数 f(x)的图像沿 x 轴向右平移 个单位，得到函 数 g(x)的图像，则下列叙述不正确的是（ ） A．g(x)的图像关于点(－ ，0)对称 B．g(x)的图像关于直线 x＝ 对称 C．g(x)是奇函数 D．g(x)在 ， ]上是增函数 12.如图，已知 为抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为坐标原点），则 与 面积之差的最小值是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题 :(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上). 13. 已知 ， 是第四象限角，则 __________． 14.已知梯形 ABCD 中，AD∥CB，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BAD＝ π 3 ，点 E 在边 BC 上运动，则 3 2 π 6 π 2 π 4 π 4 π 2 π F 2 2y x= A B x 3OA OB⋅ =  O ABO△ BFO△ 2 3 3 5 10 AE→ ·AD→ 取值范围是___________________． 15． 已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)在点(1，2)处的切 线方程是_____________________________． 16.学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓 前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下： 甲说：“ 或 作品获得一等奖” 乙说：“ 作品获得一等奖” 丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖” 丁说：“ 作品获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 12 分）设 为各项不相等的等差数列 的前 项和，已知 , ． （1）求数列 通项公式； （2）设 为数列 的前 项和，求 的最大值． 18.（本小题满分 12 分）在 中,角 的对边分别为 ,已知点 在直线 上． （1）求角 的大小； （2）若 为锐角三角形且满足 ,求实数 的最小值． nS { }na n 3 5 73a a a= 3 9S = { }na nT 1 1 n na a +       n 1 n n T a + A B C D C D B A D C ABC∆ CBA ,, cba ,, ),( ba CcByBAx sinsin)sin(sin =+− C ABC∆ BAC m tan 1 tan 1 tan += m 19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底 面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD， AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 上的点． （Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）若 E 是 PB 的中点,若 AE 与平面 ABCD 所成角为 ， 求三棱锥 的体积. 20.（本小题满分 12 分）椭圆 ： 的离心率为 ，过其右焦点 与 长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点 ， ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，点 是椭圆上的动点，且点 与点 ， 不 重合，直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 ，求证：以线段 为直径的圆恒过定点． 21．（本小题满分 12 分）设函数 ． (Ⅰ)若函数 在 上单调递增，试求 的取值范围； (Ⅱ)设函数 在点 处的切线为 ，证明：函数 图象上的点都不在直线 的上方． 45 ACEP − C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 F M 1| | 2MF = C C A B P P A B PA 3x = S PB 3x = T ST ( ) 2lnf x x x ax= − + ( )f x ( ]0,e a ( )f x ( )( )1, 1C f l ( )f x l P B CD A E 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 的极坐标 为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）直线 过 且与曲线 相切，求直线 的极坐标方程； （2）点 与点 关于 轴对称，求曲线 上的点到点 的距离的取值范围 23.(本小题满分 10 分). 选修 4－5：不等式选讲 已知函数 ． (1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围． O x M 2 2, 4 π     C 1 2cos 2sin x y α α = +  = α l M C l N M y C N 成都龙泉第二中学 2015 级高三上学期 1 月月考试题 数 学（文科）参考答案 1—5 BABAC 6—10 ACCDB 11—12 DC 13.【答案】 【解析】因为 ，所以 . 又 是第四象限角，所以 答案为： . 14.【答案】[3，6] 【解析】方法一：坐标法； 方法二：AE→ ·AD→ 是AE→ 在AD→ 上的投影与|AD→ |的乘积． 15．2x－y＝0　[解析] 当 x>0 时，－x<0，∵当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，∴f(－x)＝ex－ 1＋x.又∵f(－x)＝f(x)，∴当 x>0 时，f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，即 f′(1)＝2，∴ 过点(1，2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，整理得 2x－y＝0. 16. 17.（本小题满分 12 分） 解：（1）设 的公差为 ，则由题意可知 解得： （舍去），或 …3 分 … 4 分 （2）∵ ，……6 分 ∴ ．…9 分 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 2n na a n n n n+ = = −+ + + + 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T a a a a a a + = + + +… 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 5 1 2n n = − + − + + −+ + 1 1 2 2 2( 2) n n n = − =+ + B }{ na d    =×+ +=++ 92 233 )6(3)4)(2( 1 111 da dadada    = = 3 0 1a d    = = 2 1 1a d 11)1(2 +=×−+=∴ nnan P B CD A E ∴ ，…11 分 当且仅当 ，即 时“ ”成立， 即当 时， 取得最大值 ．12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：(1)由条件可知 ， 根据正弦定理得 ，又由余弦定理知 ， ……6 分 （2） ，当且仅当 即 为正三角形时， 实数 的最小值为 2. ……12 分 19.【解析】（Ⅰ）证明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， ， ， ， ， 又 ， 平面 ， ∵ 平面 EAC， 平面 平面 （Ⅱ）(文)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 ，则 平面 ABCD 于是 为 与平面 所成角.则 由 则 所以 ,.. 2 2 1 1 1 1 42( 2) 2( 4 4) 1642( 4 ) 2(4 2 ) n n T n n a n n n n nn n + = = = ≤ =+ + + + + + ⋅ 4n n = 2n = = 2n = 1 n n T a + 1 16 ⊥PC ⊂AC PCAC ⊥∴ 2=AB 1== CDAD 2==∴ BCAC 222 ABBCAC =+∴ BCAC ⊥∴ CPCBC = ⊥∴ AC ⊂AC ∴ ⊥EAC (sin sin ) sin sina A B b B c C− + = 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = .3,0 ππ =∴<< CC 1 1 sin cos costan ( ) ( )tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B = + = + 2 2 2 2sin cos sin cos sin 2sin 2 2( ) cos sin sin sin sin C A B B A C c a b ab C A B A B ab ab + + −= × = = = 2( 1) 2 (2 1) 2a b b a = + − ≥ × − = a b= ABC∆ m PBC PBC PCEF // ⊥EF EAF∠ AE ABCD 45=∠EAF 2 10=AF 2 10=EF 10=PC 6 10 2 2 3 1 === ∆−− ACPACPEACEP SVV 20．（本小题满分 12 分）（1）解： ，又 ，联立解得： ， 所以椭圆 C 的标准方程为 ． （2）证明：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 AP 的方程为 ， 联立 得 ． ， 整理得： ，故 ， 又 ， ( 分别为直线 PA，PB 的斜率)， 所以 ， 所以直线 PB 的方程为： ， 联立 得 ， 所以以 ST 为直径的圆的方程为： ， 令 ，解得： ， 所以以线段 ST 为直径的圆恒过定点 ． 21. （本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)由 可得 1 分 因为 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立． 2 分 所以 在 上恒成立，即 ． 4 分 而 在 上单调递增，所以 ． 5 分 3 2 ce a = =因为 2 1| | 2 bMF a = = 2 1a b= =， 2 2 14 1 x y+ = ( 2)y k x= + 3x = (3 5 )S k， 0 0( )P x y设 ， ，代入椭圆的方程有： 2 2 0 0 01( 2)4 1 x y x+ = ≠ ± 2 2 0 0 1 ( 4)4y x= − − 2 0 2 0 1 4 4 y x = −− 0 0 2 yk x = + 0 0 2 yk x ′ = − k k′， 2 0 2 0 1 4 4 ykk x ′ = = −− 1 ( 2)4y xk = −− 3x = 13 4T k    − ， 2 2 2 5 1 5 1( 3) 2 8 2 8 k kx y k k     − + − − = +         0y = 53 2x = ± 53 02  ±    ， ( ) 2lnf x x x ax= − + axxxf +−=′ 21)( ( )f x ( ]0,e ( ) 1 2 0f x x ax ′ = − + ≥ ( ]0,e 12a x x ≥ − ( ]0,e max 12a x x  ≥ −   12x x − ( ]0,e max 1 12 2x ex e  − = −   所以 ．故所求 的取值范围是 6 分 (Ⅱ) 因为 ， 所以切点 ，故切线 的方程为 ， 即 ． 8 分 令 ，则 ． 9 分 则 ． 10 分 所以当 变化时， 的关系如下表： 1 + 0 - 极大值 因为 ，所以函数 图象上不存在位于直线 上方的点 12 分 22.解析：（1）由题意得点 的直角坐标为 ，曲线 的一般方程为 ．．2 分 设直线 的方程为 ，即 ，．．．．．3 分 ∵直线 过 且与曲线 相切，∴ ，．．．．．．．．4 分 即 ，解得 ，．．．．．．．．5 分 ∴直线 的极坐标方程为 或 ．．．．6 分 （2）∵点 与点 关于 轴对称，∴点 的直角坐标为 ．．．7 分 则点 到圆心 的距离为 ，．．．．．．．8 分 M ( )2,2 C ( )2 21 4x y− + = l ( )2 2y k x− = − 2 2 0kx y k− − + = l M C 2 2 2 1 k k − = + 23 4 0k k+ = 40 3k = 或k=- l sin 2ρ θ = 4 cos 3 sin 14 0ρ θ ρ θ+ − = N M y N ( )2,2− N C ( )2 22 1 2 13− − + = 12a e e ≥ − a      +∞− ,12 ee ( )1 1 2 1f a a′ = − + = − ( )1, 1C a − l ( ) ( )( )1 1 1y a a x− − = − − ( )( ) ( )1 1 1 1y a x a a x= − − + − = − ( ) ( ) ( )1g x f x a x= − − ( ) 2lng x x x x= − + ( ) ( ) 12 11 22 1 x x g x xx x  − − +  ′ = − + = x ( ) ( ),g x g x′ x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )g x′ ( )g x ( ) ( )1 0g x g≤ = ( )f x l 曲线 上的点到点 的距离的最小值为 ，最大值为 ，．．10 分 23.【答案】（1） （2） 【解析】：（1）由 得 ， ∴ ，即 ，……3 分 ∴ ，∴ . ……4 分 （2）由（1）知 , 只需 的最小值……6 分 令 ， 则 ……8 分 ∴ 的最小值为 4， ……9 分 故实数 的取值范围是 ……10 分 C N 13 2− 13 2+