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- 2021-04-20 发布
2019—2020学年第一学期期末考试试卷
高三 理科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M={y|y=}，N={x|y=}，那么M∩N=（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞）
2.
A. B. C. D.
3.同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
4. 下列四个命题中真命题的个数是（ ）
(1)“”是“”的充分不必要条件
(2)命题“，”的否定是“，”
(3)“若，则”的逆命题为真命题
(4)命题，，命题，，则为真命题
A． B． C． D．
5. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n
6．已知直线 ，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．511
B．512
C．1022
D．1024
8.已知，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11. 函数的图象大致为（ ）
12.已知 ，若互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A. （1，15） B. （10，15） C. （15，20） D. （10，12）
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.已知向量，，，若，则_______．
14. 已知，则__________．
15. 若，满足约束条件则的最大值为________.
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本题满分10分)等差数列{}中，
（I）求{}的通项公式；
(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
18. (本题满分12分)
设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．
19.(本题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值．
20.P
A
B
C
D
E
（本小题12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）设，，三棱锥的体积，
求到平面的距离．
21. (本题满分12分)
在等比数列{an}中，公比q＞1，且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2与a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log2an+5，且数列{bn}的前n项的和为Sn，求数列{}的前n项和Tn．
22. (本题满分12分)
已知函数f（x）=ex+ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
高三数学答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
D
B
C
B
C
D
A
B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)（段希爱，祁成宏）
13. 4 14. ; 15. 1; 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17. (本题满分10分)
【解析】 (Ⅰ)设数列的公差为d，
由题意有，
解得，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，，
所以数列的前10项和为.
18.(本题满分12分)
【解答】解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）时f（x）单调递增，
解得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），
则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤，
当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，
则f（x）max=+1+a=2，
解得：a=1﹣，
令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）为f（x）的对称轴．
19. (本题满分12分)
【解答】解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+bc，
∴根据余弦定理，得cosA=．…
∵0＜A＜π，∴．…
（Ⅱ）由正弦定理，得
．…
∵，0＜B＜π，
∴．可得．…
∴B=C，可得c=b=2．…
20. (本题满分12分)
（1）设BD与AC 的交点为O，连结EO，
∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；————————-—————5分
（2）AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，
∴V==，∴AB=，PB==．
作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：
A到平面PBC的距离———————————————12分
21. (本题满分12分)
【解答】解：（1）∵a2+a3+a4=28，∴a1q+a1q2+a1q3=28①；又a3+2是a2、a4的等差中项得到2（a1q2+2）=a1q+a1q3②．
由①得：a1q（1+q+q2）=28③，由②得：a1q2=8，a1q+a1q3=20即a1q（1+q2）=20④
③÷④得
∴2q2﹣5q+2=0
∴q=2或q=
∵q＞1，∴q=2
∴数列{an}的通项公式an=a3qn﹣3=2n；
（2）∵an=2n，∴bn=log2=n+5，∴b1=6
∴数列{bn}是以6为首项，1为公差的等差数列，
∴Sn=
∴=
∴数列{}是以6为首项，为公差的等差数列，
∴Tn==．
22.(本题满分12分)
【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=ex+x﹣1，f（1）=e，f'（x）=ex+1，f'（1）=e+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即y=（e+1）x﹣1，
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A，B（0，﹣1），
∴，
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．
（II）由f（x）≥x2得，
令h（x）=，，
令k（x）=x+1﹣ex…k'（x）=1﹣ex，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x﹣1＜0，x2＞0，所以，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2﹣e，所以a≥2﹣e…