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- 2021-04-20 发布
武汉市 2019 届高中毕业生四月调研测试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设复数 z 满足1 2 i1
z
z
，则 z （ ）
A． 1 3 i5 5 B． 1 3 i5 5 C． 1 3 i5 5 D． 1 3 i5 5
1．答案：C
解析： 1 i ( 1 i)(2 i) 1 3i1 2 i(1 ) i i , (2 i) 1 i, 2 i (2 i)(2 i) 5z z z z z
．
2．已知集合 2 2{ | 2 0}, { | 3 0}A x x x B x x x ，则 A B （ ）
A．(0, 2) B．( 1,0) C．( 3, 2) D．( 1,3)
2．答案：B
解析： 2{ | 2 0} { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}A x x x x x x x x ，
2{ | 3 0} { | ( 3) 0} { | 3 0}B x x x x x x x x ，所以 ( 1,0)A B ．
3．等比数列{ }na 中， 1 41, 64a a ，则数列{ }na 前 3 项和 3S （ ）
A．13 B． 13 C． 51 D．51
3．答案：B
解析： 3 3
4 1 , 64, 4a a q q q ，所以 3 1 4 16 13S ．
4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—
结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式，并将手机的数据整理绘制成如下两幅不完整的统
计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是（ ）
A．30 B．40 C．42 D．48
4．答案：A
解析：总人数为 30 12025% ，所以本次抽查的学生中 A 类人数是120 42 30 18 30 ．
5．为了得到函数 sin 2y x 的图象，可以将 cos 2 6y x
的图象（ ）
A．向右平移
6
个单位长度 B．向右平移
3
个单位长度
C．向左平移
6
个单位长度 D．向左平移
3
个单位长度
5．答案：A
解析： cos 2 sin 2 sin 2 sin 26 6 2 3 6y x x x x
，
所以为了得到函数 sin 2y x 的图象，可以将 cos 2 6y x
的图象向右平移
6
个单位长度．
6．已知两个平面互相垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．答案：C
解析：正确的为②，如果两个平面垂直，则一个平面内．．．．．垂直于交线的直线垂直于另一个平面，所以④错误．如
果两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内垂直于交线的直线，这样的线有无数条，
所以②正确．
7．已知 0a 且 1a ，函数 , 1( )
2, 1
xa xf x
ax a x
≥ 在 R 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A．(1, ) B．(0,1) C．(1,2) D．(1,2]
7．答案：D
解析：因为函数 ( )f x 在 R 上单调递增，所以
1
1
0
1 2
a
a
a a a
≥
，解得1 2a ≤ ．
8．大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，若每个村小学至少
分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）
A． 1
12 B． 1
2 C． 1
3 D． 1
6
8．答案：C
解析：对于小明而言，他分配到甲、乙、丙 3 个村是等可能的，所以小明恰好分配到甲村小学的概率为 1
3
．
9．过点 (4,2)P 作一直线 AB 与双曲线
2
2: 12
xC y 相交于 ,A B 两点，若 P 为 AB 的中点，则 AB
（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．3 3 D． 4 3
9．答案：D
解析：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 28, 4x x y y ，又
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
x y
，两式相减，得：
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )( ) 0x x x x y y y y ，所以 1 2
1 2
1AB
y yk x x
，
（或由常用结论： 2 3 11 12 2OP ABk k e ，又因为 1
2OPk ，所以 1ABk ），
所以直线 AB 的方程为 2y x ，将其代入 2 22 2 0x y ，得 2 8 10 0x x ，
解得 1 24 6, 4 6x x ， 1 2 2 6x x ， 2
1 21 2 2 6 4 3AB k x x ．
10．已知 ,a b
是两个相互垂直的单位向量，且 3, 1c a c b
，则 b c
（ ）
A． 6 B． 7 C． 2 2 D． 2 3
10．答案：B
解析：不妨设 (1,0), (0,1), ( , )a b c x y
，则 3, 1, ( 3,1), ( 3, 2)c a x c b y c b c
，
7b c
．
11．为了提升全面身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投
进则后一球投进的概率为 3
4
，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1
4
．若他第 1 球投进的概率为 3
4
，
则他第 2 球投进的概率为（ ）
A． 3
4 B． 5
8 C． 7
16 D． 9
16
11．答案：B
解析：设第一次投进球为事件 A ，第二次投进球为事件 B ，则
3 3 1 1 10 5( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 4 4 4 4 16 8P B P AB P AB P B A P A P B A P A ．
12．已知函数 3( )f x x ax b 定义域为[ 1,2] ，记 ( )f x 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D． 3
12．答案：C
解析：解法 1： ( 1) 1 , (1) 1 , (2) 8 2M f a b M f a b M f a b ≥ ≥ ≥ ，
所以 3 2 1 3 3 16 4 2M M M a b a b a b ≥
( 1 ) (3 3 ) (16 4 2 ) 12a b a b a b ≥ ，所以 2M ≥ ，
当 3, 0a b 时， 3 2( ) 3 , ( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x f x x x x ，当 ( 1,1)x 时， ( ) 0, ( )f x f x
单调递减，当 (1,3)x 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递增，又 ( 1) 2, (1) 2, (2) 2f f f ，此时 2M ，
故 M 的最小值为 2．
解法 2： 2( ) 3 , ( ) 6f x x a f x x ，令 ( ) 0f x ，得 0x ，故 ( )f x 关于 (0, )b 对称，
令 ( 1) (1) (2)f f f ，得 3, 0a b ，此时 M 取最小值 2．
解法 3：令 2cos [ 2,2]x ，则 3( ) 8cos 2 cosf x a b ，
令 3, 0a b ，得 3( ) 2cos [ 2, 2]f x ，即 M 的最小值为 2．
解法 4：由 3x ax b M ≤ ，得 3M x ax b M ≤ ≤ ，
所以 3ax b M x ax b M ≤ ≤ ，
如图，
33 2 03 2 2
aax b M x bax b M x M
=
．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知实数 ,x y 满足约束条件
2 4 0
1 0
2 1 0
x y
x y
x y
≥
≤
≤
，则目标函数 z y x 的最小值为 ．
13．答案： 1
解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中
7 6( 5, 6), (1,0), ,5 5A B C
，则 131, 1, 5A B Cz z z ，
所以目标函数 z y x 的最小值为 1 ．
14．已知过点 (1,0)M 的直线 AB 与抛物线 2 2y x 交于 ,A B 两点，O 为坐标原点，若 ,OA OB 的斜率之
和为 1，则直线 AB 的方程为 ．
14．答案： 2 2y x
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2O
3 2y x
3 2y x
(2,8)
( 1,1)
x
y
A
B
C
解析：设直线 AB 的方程为 1x my ，将其代入 2 2y x ，得 2 2 2 0y my ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
则 1 2 1 22 , 2y y m y y ，此时 1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 21 1 ( 1)( 1)OA OB
y y my y y my y yk k my my my my
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
2 ( ) 4 2 2 1( ) 1 2 2 1
my y y y m m mm y y m y y m m
，所以 1
2m ，
直线 AB 的方程为 1 12x y ，即 2 2y x ．
15．已知数列{ }na 前 n 项和 nS 满足 1 13 2 3( 2), 1n
n nS S n a ≥ ，则 4a ．
15．答案：11
解析： 2 3 4
2 1 3 2 4 33 2 3 2, 3 2 3 1, 3 2 3 10S S S S S S ，所以 4 4 3 11a S S ．
16．在四面体 P ABC 中，若 3, 4, 5PA PB PC ，底面 ABC△ 是边长为 2 3 的正三角形，O 为
ABC△ 的中心，则 PAO 的余弦值为 ．
16．答案： 1
36
解析：延长 AO 交 BC 于点 D ，连接 PD ，则 D 为 BC 的中点， 3AD ，在 PBC△ 中，可得：
2 2 2
2 2( ) 2 (16 25) 12 35
4 2 2
PB PC BCPD ，在 PAD△ 中，由余弦定理可得：
2 2 2
359 9 12cos 2 2 3 3 36
PA AD PDPAD PA PD
，即 1cos 36PAO ．
A
P
C
B
DO
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 10cos , 2 , 154A B A b ．
（1）求 a ；
（2）已知 M 在边 BC 上，且 1
2
CM
MB ，求 CMA△ 的面积．
17．解析：（1）由 100 , cos 4A A ，知 6sin 4A ，
6 10 15sin sin 2 2sin cos 2 4 4 4B A A A ，
由正弦定理
sin sin sin
a b c
A A C ，可知 sin 6sin
b Aa B ．………………………………………（6 分）
（2）
2
2 10 1cos cos 2 2cos 1 2 14 4B A A
，
6 1 10 15 3 6sin sin( ) sin cos cos sin 4 4 4 4 8C A B A B A B ，
三角形 ABC 的面积 1 1 3 6 9 15sin 6 152 2 8 8ABCS ab C △ ，
而 1
2
CM
MB ，所以 1 1 9 15 3 15
3 3 8 8CMA ABCS S △ △ ．…………………………………………12 分
M
A
CB
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 2 2, 60 , 2AB AD DAB PA PC ，
且平面 ACP 平面 ABCD ．
（1）求证：CB PD ；
（2）求二面角C PB A 的余弦值．
P
A B
CD
18．解析：（1）连接 ,AC BD 交于点O ，连 PO ，由平面 ACP 平面 ABCD ，
平面 ACP 平面 ABCD AC ．又 PA PC ， ,PO AC PO 平面 ABCD ，
又 BC 平面 ,ABCD PO BC ，又 2 2 2 cos60 3BD AB AD AB AD ，
2 2 2BD BC CD ， BC BD ，又 ,BD PO O BC 平面 PBD ，
PD 平面 ABD ， CB PD ．………………………………………………………………………6 分
（2）由（1）知 DA DB ，以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DB 为 y 轴，过点 D 与平面 ADB 垂直的直
线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知 PO 平面 ABCD ，则 //PO z 轴．
由平面几何知识易知得 7 3,2 2AO PO ，则 3 3(1,0,0), (0, 3,0), 0, , , ( 1, 3,0)2 2A B P C
，
于是 3 3( 1,0,0), 0, , , (1, 3,0)2 2BC BP BA
，
设平面 PBC 的法向量为 1 ( , , )n x y z
，
则
1
1
0
3 3 02 2
n BC x
n BP y z
，取 1z ，则 3y ，则 1 (0, 3,1)n
．
同理可求得平面 PBA 的一个法向量为 2 (3, 3,1)n
，于是 1 2
1 2
1 2
4 2 13cos , 132 13
n nn n
n n
．
分析知二面角C PB A 的余弦值为 2 13
13 ．………………………………………………………12 分
P
A B
CD
O
x
y
z
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b 经过点 ( 2,1)M ，且右焦点 ( 3,0)F ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 (1,0)N 的直线 AB 交椭圆 于 ,A B 两点，记t MA MB
，若t 的最大值和最小值分别为 1 2,t t ，
求 1 2t t 的值．
19．解析：（1）由椭圆
2 2
2 2 1x y
a b 的右焦点为( 3,0) ，知 2 2 3a b ，即 2 2 3b a ，
则
2 2
2
2 2 1, 33
x y aa a
，又椭圆过点 ( 2,1)M ，则 2 2
4 1 13a a
，又 2 3a ，求得 2 6a ，
∴椭圆方程为
2 2
16 3
x y ．…………………………………………………………………………4 分
（2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 1 1 2 2( 1), ( , ), ( , )y k x A x y B x y ，
由
2 2
16 3
( 1)
x y
y k x
，得 2 2 22 ( 1) 6x k x ，即 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x k x k ，
因为点(1,0) 在椭圆内部， 0 ，
2
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 6
2 1
kx x k
kx x k
①
②
则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 2( ) ( 1)( 1)t MA MB x x y y x x x x kx k kx k
2 2 2
1 2 1 2(1 ) (2 )( ) 2 5k x x k k x x k k ………………………………………………………③
将①②代入③，得：
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 6 4 15 2 1(1 ) (2 ) 2 52 1 2 1 2 1
k k k kt k k k k kk k k
，
则 2(15 2 ) 2 1 0,t k k t k R ，则 22 4(15 2 )( 1) 0t t ≥ ，
(2 15)( 1) 1 0t t ≤ ，即 22 13 16 0t t ≤ ，
又 1 2,t t 是 22 13 16 0t t 的两根，所以 1 2
13
2t t ，
当直线 AB 的斜率不存在时，联立
2 2
16 3
1
x y
x
，得 10
2y ，
不妨设 10 101, , 1,2 2A B
， 10 103, 1 , 3, 12 2MA MB
，
10 159 14 2MA MB
．可知 1 2
15
2t t ．
综上， 1 2
13
2t t ．……………………………………………………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
已知函数
1
2
2( ) ln
xef x a x x x
（ ,a aR 为常数）在(0, 2) 内有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x ．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）求证： 1 2 2(1 ln )x x a ．
20．解析：（1）由
1
2
2( ) ln
xef x a x x x
，可得
1
3
(2 )( )( )
xx e axf x x
，
记 1( ) , 0xh x e ax x ，由题意，知 ( )y h x 在(0, 2) 上存在两个零点． 1( ) xh x e a ，则
当 0a ≤ 时， ( ) 0h x ，则 ( )h x 在(0, 2) 上递增， ( )h x 至多有一个零点，不合题意；
当 0a 时，由 ( ) 0h x ，得 1 lnx a ．
（i）若1 ln 2a 且 (2) 0h ，即1 2
ea 时， ( )h x 在 (0,1 ln )a 上递减，在(1 ln ,2)a 递增；
则 min( ) (1 ln ) ln 0h x h a a a ，且 1(2) 0, (0) 0h h e ，
从而 ( )h x 在 (0,1 ln )a 和(1 ln ,2)a 上各有一个零点．
所以 ( )y h x 在 (0, 2) 上存在两个零点．
（ii）若1 ln 2a ，即 a e 时， ( )h x 在 (0, 2) 上递减， ( )h x 至多有一个零点．舍去．
（iii）若1 ln 2a 且 (2) 0h ≤ ，即
2
e a e≤ 时，此时 ( )h x 在 (0,1 ln )a 上有一个零点，而在(1 ln ,2)a
上没有零点．舍去．
综上可知，1 2
ea ．……………………………………………………………………………………6 分
（2）令 ( ) ( ) (2 2ln ), 0 1 lnH x h x h a x x a ，则
2
1 2 2ln 1 1
1( ) ( ) (2 2ln ) 2 2 2 0x a x x
x
aH x h x h a x e a e a e a ae
≥ ，
所以， ( )H x 在(0,1 ln )a 上递增，从而 ( ) (1 ln ) 0H x H a ，
即 ( ) (2 2ln ) 0h x h a x ， 1 1( ) (2 2ln ) 0h x h a x ，而 1 2( ) ( )h x h x ，且 ( )h x 在(1 ln ,2)a
递增； 2 1 2 1( ) (2 2ln ) 2 2lnh x h a x x a x ．
1 2 2(1 ln )x x a ．………………………………………………………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫
奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入逐年增加．为了更好的制定 2019
年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制
成如下频率分布直方图：
11 13 15 17 19 21 23 25 收入（千元）
0.02
0.03
0.050.06
0.14
0.18
频率/组距
（1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间
的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 2( , )N ，其中 近似为年
平均收入 x ， 2 近似为样本方差 2s ，经计算得 2 6.92s ．利用该正态分布，求：
（i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定
的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民中的年收入
不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式： 6.92 2.63 ，若 2( , )X N ～ ，则
① ( ) 0.6827P X ≤ ；② ( 2 2 ) 0.9545P X ≤ ；
③ ( 3 3 ) 0.9973P X ≤ ．
21．解析：（1） 12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 23 0.04 17.40x
千元．…………………………………………………………………………………………………………3 分
（2）由题意， (17.40,6.92)X N～ ．
（i） 1 0.6827( ) 0.8414, 17.40 2.63 14.772 2P x 时，满足题意，
则最低年收入大约为14.77 千元．…………………………………………………………………………6 分
（ii）由 0.9545( 12.14) ( 2 ) 0.5 0.97732P X P X ≥ ≥ ，可知每个农民的年收入不少于12.14
千元的事件的概率为0.9773，记 1000 个农民的年收入不少于12.14 千元的人数为 ，则
(1000, )B p～ ，其中 0.9773p
于是恰好有 k 个农民的年收入不少于12.14 千元的事件概率是 1000
1000( ) (1 )k k kP k C p p ，
由 ( ) (1001 ) 1( 1) (1 )
P k k p
P k k p
，得 1001 978.2773k p ．
所以当0 978k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P k P k ，当979 1000k≤ ≤ 时， ( 1) ( )P k P k ，
由此可知，在所走访的 1000 为农民中，年收入不少于12.14 千元的人数最有可能是 978…………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1
2: sin 4 2C
， 2
2 2
1: 3 4sinC
．
（1）求曲线 1 2,C C 的直角坐标方程；
（2）曲线 1C 和 2C 的交点为 ,M N ，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标．
22．解析：（1）由 2sin 4 2
，得 2sin cos cos sin4 4 2
，
将 cos , sinx y 代入上式得 1x y ．即 1C 的直角坐标方程为： 1x y ．
同理由 2
2
1
3 4sin
可得 2 23 1x y ． 2C 的直角坐标方程为 2 23 1x y ．……………………5 分
（2） PM PN ．先求以 MN 为直径的圆，设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，
由
2 23 1
1
x y
x y
，得 2 23 (1 ) 1x x ，即 2 1 0x x ．
1 2
1 2
1
1
x x
x x
，则 MN 中点坐标为 1 3,2 2
．
2
1 2
1 4( 1)1 1 2 101MN x x ．
所以以 MN 为直径的圆：
22 21 3 10
2 2 2x y
，
令 0x ，得
21 3 10
4 2 4y
，即
23 9 , 02 4y y
或 3y ，
所以所求 P 点的坐标为(0,0) 或(0,3) ．………………………………………………………………10 分
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) 2 1 1f x x x ．
（1）求不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集；
（2）若直线 y x a 与 ( )y f x 的图象所围成的多边形面积为 9
2
，求实数 a 的值．
23．解析：（1）
3 , 1
1( ) 2 1 1 2, 12
13 , 2
x x
f x x x x x
x x
≥
≤
，
由 ( ) 3f x ≥ 可知：
（i）当 1x≥ 时，3 3x≥ ，即 1x≥ ；
（ii）当 1 12 x 时， 2 3x ，即 1x≥ ，与 1 12 x 矛盾，舍去；
（iii）当 1
2x ≤ 时， 3 3x ≥ ，即 1x ≤ ；
综上可知解集为：{ | 1x x ≤ 或 1}x≥ ………………………………………………………………5 分
（2）画出函数 ( )y f x 的图象，如图所示，其中 1 3, , (1,3)2 2A B
，由 1ABk ，知 y x a 图象与直
线 AB 平行，若要围成多边形，则 2a ．
易得 y x a 与 ( )y f x 图象交于两点 3 3, , ,2 2 4 4
a a a aC D
，则 3 22 2 4 4
a aCD a ，
平行线 AB 与CD 间距离 2 2 3 2, 22 2
a ad AB ，
所以梯形 ABCD 面积
3 2 3 2 3 3
2 92 4 2 4 ( 2) , ( 2)2 2 22
a aaS a a
，
即 ( 2)( 2) 12, 4a a a ，
故所求实数 a 的值为 4．………………………………………10 分
6
5
4
3
2
1
2
D
C
B
A
O