2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第60讲课件（32张）（全国通用） 32页

第 60 讲　曲线与方程 考试要求　 1. 曲线方程 (B 级要求 ) ； 2. 高考中可能重点考查求轨迹方程，求两曲线的交点，直线与圆锥曲线的位置关系 . 解析　 由已知 MF ＝ MB ，根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 . 答案　 抛物线 诊 断 自 测 即 2 x ＋ 3 y － 1 ＝ 0( x ≥ 3) 或 x ＝ 4 ， 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线 . 答案　 一条直线和一条射线 3.( 2018· 南通模拟 ) 已知 A ( － 2 ， 0) ， B (1 ， 0) 两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足 ∠ APO ＝ ∠ BPO ，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是 ________. 解析　 由角的平分线性质定理得 PA ＝ 2 PB ， 整理得 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠0). 答案　 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠0) 解析　 设 MN 的中点为 P ( x ， y ) ，则 点 M ( x ， 2 y ) 在椭圆上， ∵ 0 ≤ x 2 ≤ 9 ， ∴ － 7 ≤ t ≤ 1 ， 故实数 t 的取值范围是 [ － 7 ， 1]. 答案　 [ － 7 ， 1] 1. 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的实数解建立如下的对应关系 ： 那么 ，这个方程 叫做 ____________ ， 这条曲线 叫做 ____________ . 知 识 梳 理 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的 曲线 2. 求曲线方程的基本步骤 任意 考点一　定义法求轨迹方程 设点 A 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， 由曲线的对称性，得 B ( x 0 ，－ y 0 ) ， 设点 M 的坐标为 ( x ， y ) ， 规律方法　 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 . 【训练 1 】 已知两个定圆 O 1 和 O 2 ，它们的半径分别是 1 和 2 ，且 O 1 O 2 ＝ 4. 动圆 M 与圆 O 1 内切，又与圆 O 2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 . 解　 如图所示，以 O 1 O 2 的中点 O 为原点， O 1 O 2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 . 由 O 1 O 2 ＝ 4 ，得 O 1 ( － 2 ， 0) ， O 2 (2 ， 0). 设动圆 M 的半径为 r ，则由动圆 M 与圆 O 1 内切，有 MO 1 ＝ r － 1 ； 由动圆 M 与圆 O 2 外切，有 MO 2 ＝ r ＋ 2. ∴ MO 2 － MO 1 ＝ 3<4 ＝ O 1 O 2 . 考点二　直接法求轨迹方程 (1) 求曲线 Γ 的方程； (2) 直线 AB 交圆 O 于 C ， D 两点，当 B 为 CD 的中点时，求直线 AB 的方程 . 解　 (1) 设 AB 的中点为 M ，切点为 N ，连接 OM ， MN ，则 OM ＋ MN ＝ ON ＝ 2 ，取 A 关于 y 轴的对称点 A ′ ， 所以点 B 的轨迹是以 A ′ ， A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 . 规律方法　 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性 . 通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性 . 解　 (1) 设 F 1 ( － c ， 0) ， F 2 ( c ， 0)( c >0). 设点 M 的坐标为 ( x ， y ) ， (1) 求 p 的值； (2) 当 M 在 C 2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 ( A ， B 重合于 O 时，中点为 O ). 由 N 为线段 AB 的中点，知 所以切线 MA ， MB 的方程分别为 由 ⑤⑥ 得 MA ， MB 的交点 M ( x 0 ， y 0 ) 的坐标为 当 x 1 ＝ x 2 时， A ， B 重合于原点 O ， 【训练 3 】 设直线 x － y ＝ 4 a 与抛物线 y 2 ＝ 4 ax 交于两点 A ， B ( a 为定值 ) ， C 为抛物线上任意一点，求 △ ABC 的重心的轨迹方程 . 解　 设 △ ABC 的重心为 G ( x ， y ) ， 点 C 的 坐标 为 ( x 0 ， y 0 ) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 消去 y 并整理 得 x 2 － 12 ax ＋ 16 a 2 ＝ 0. ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 12 a ， y 1 ＋ y 2 ＝ ( x 1 － 4 a ) ＋ ( x 2 － 4 a ) ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) － 8 a ＝ 4 a . ∵ G ( x ， y ) 为 △ ABC 的重心， 又点 C ( x 0 ， y 0 ) 在抛物线上， ∴ 将点 C 的坐标代入抛物线的方程 得 ( 3 y － 4 a ) 2 ＝ 4 a (3 x － 12 a ) ，