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- 2021-04-20 发布
2019学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2． 直线的倾斜角是（）
A． B． C． D．
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是()
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4. 某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.已知3个区人口数之比为2:3:5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（ ）
A．96 B．180 C．120 D．240
5. 两个与的和用十进制表示为（）
A．12 B．11 C．10 D．9
6．已知变量之间的线性回归方程为，若，则等于( )
A．3 B．0.4
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C．40 D．4
7．执行下面的程序框图，如果输入的那么输出的值满足( )
A. B.
C. D.
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.B.C. D.
9.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
8
7
7
9
1
4
0
1
0
9
则7个剩余分数的方差为( )
A.B. C. D.
10.已知的定义域为，则函数的定义域为（）
A.B.
C. D.
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11. 在平面直角坐标系中，过动点分别作圆与圆的切线与，若，为原点，则的最小值为（）
A.2 B. C. D.
12. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．
若，则的最大值为（ ）
A.3 B. 2 C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若x，y满足约束条件则的最小值为______．
14.用秦九韶算法计算多项式的值，当等于1时，等于_______．
15.在中，,,,则____________
16.已知实数满足，且，则的最大值与最小值的和为________.
三、解答题：共70分.
17.（10分）的内角的对边分别为,已知.
(1)求
(2)若,的面积为,求的周长.
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18.（12分）为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行了升高测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右五个小组的频率分别为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三小组的频数为6.
（1） 参加这次测试的学生数是多少？
（2） 试问这组身高数据的中位数和众数分别在哪个小组的范围内.且在众数这个小组内的人数是多少？
（3） 如果本次测试身高在157cm以上（包括157cm）的为良好，试估计该校女生身高良好率是多少？
19. （12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
入均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求关于的线性回归方程；
(2)利用（1）中的线性回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
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20.（12分）如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
21.(12分)已知等比数列中,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式.
(2)记,求数列的前项和.
22.（12分）已知圆和圆.
（1）证明圆与圆相离.
（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程.
（3）过圆的圆心作动直线交圆于两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
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参考答案
一、 选择题
1-5 BDACB 6-10 DCBAD 11-12 CA
二、 填空题
13：-1 14: 5 15： 16：
三、 解答题
17． 解:
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18．解:
19． 解
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20.解：
(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
21.解：【答案】(1)设数列{an}的公比为q，
由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.
(2)bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②
①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.
22.解：【答案】(1)因为圆O的圆心O为(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C为(0,4)，半径r2＝1，
所以圆O和圆C的圆心距|OC|＝|4－0|＞r1＋r2＝3，
所以圆O与圆C相离．
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意．
设切线l的方程为y＝kx＋4，即kx－y＋4＝0，
所以O到l的距离d＝＝2，解得k＝±.
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所以切线l的方程为x－y＋4＝0或x＋y－4＝0.
(3)(ⅰ)当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，
此时直线m与圆O的交点为A(0,2)，B(0，－2)，
AB即为圆O的直径，而点M(2,0)在圆O上，
即圆O也是满足题意的圆．
(ⅱ)当直线m的斜率存在时，设直线m：y＝kx＋4，
由消去y整理，得(1＋k2)x2＋8kx＋12＝0，
由Δ＝64k2－48(1＋k2)＞0，得k＞或k＜－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有①
由①得y1y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝，②
y1＋y2＝kx1＋4＋kx2＋4＝k(x1＋x2)＋8＝③
若存在以AB为直径的圆P经过点M(2,0)，则MA⊥MB，所以·＝0，
因此(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
则＋＋4＋＝0，所以16k＋32＝0，
k＝－2，满足题意．
此时以AB为直径的圆的方程为x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0，
即x2＋y2－x－y＋＝0，亦即5x2＋5y2－16x－8y＋12＝0.
综上，在以AB为直径的所有圆中，
存在圆P：5x2＋5y2－16x－8y＋12＝0或x2＋y2＝4使得圆P经过点M(2,0)．
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