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- 2021-04-20 发布
淮北市实验高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试
高 二 数学（理） 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.两条直线互相垂直的充分必要条件是（ ）
A. B. C. D.
2.数列是等差数列，，则 （ ）
A. B. C. D.
3.下列命题中，正确的是 （ ）
A.若则 B.若则
C.若,则 D.若则
4.在中，若则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知非零实数满足成等比数列,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.不等式的解集为，则函数的图象为图中的( )
7.已知实数满足不等式组,则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
8.设数列满足：，则（ ）
A. B. C. D.
9.设，求函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.在中，三个内角所对的边为，若，，则边（ ）
A. B. C. D.
11.已知不等式的解集为，求实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
12.在中，已知,点分别是边的中点，且的最大值是，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.不等式的解集是_______________.
14.若命题是假命题，则实数的取值范为________．
15.如果满足的三角形恰有一个，那么的取值范围是________．
16.已知数列满足且,其前项和为,若对任意的正整数，恒成立，则实数的取值范围是__________.
三、解答（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本题满分10分）已知实数满足，其中,实数满足．
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18. （本题满分12分）设满足条件 .
(1)求的最大值与最小值；
(2)求的最大值与最小值．
19.（本题满分12分）设是数列的前项和，已知
.
（1） 求数列的通项公式；
（1） 令，求数列的前项和.
20. （本题满分12分）已知在锐角中，三个内角所对的边为，且．
(1)求角的值；
(2)若，则求的取值范围．
21. （本题满分12分）已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.
22. （本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的倍．
(1)求；
(2)若，求和的长．
淮北市实验高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试
高 二 数学（理） 试 题
（参考答案）
一、选择题
1.C 2.A 3. B 4． C 5. C 6. B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.D
二、填空题
13、
14．
15．
16.
三、解答
17．解：（1）对由得，
因为，所以
当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．
又为真时实数的取值范围是
若为真，则真且为真，
所以实数的取值范围是
（2）是的必要不充分条件 ，即，且，
设，则是的真子集
又；
所以有解得，所以实数的取值范围是
18．解：满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．
(1)令表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，的值都相等．
由图可知在可行域内取
值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
由，解得.
∴，∴.
(2) 表示可行域内的点和定点的连线的斜率，
由图可知最大，最小．
由，解得.
∴．
∴.
19.解：（1）当时，由得
两式相减，得，
，
当时，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2） 由（1）得.
所以
—得
20．解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，
利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，
即sin（B+A）=2sinCcosA，
即sinC=2sinCcosA，
∴cosA=，∴A=．
（2）若a=，则由正弦定理可得 ==2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．
由于，求得 ＜B＜，∴＜B+＜．
∴sin（B+）∈（，1]，
∴b+c∈（3，2]．
21. 解：（1）设等比数列的公比为，由题意知且
（2） 由（1）得，
，
22、解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得
＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.