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- 2021-04-20 发布
石嘴山三中高二文科数学(上)期末考试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知数列是等比数列，且，则的公比为（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】B
【解析】
因为数列是等比数列，且，所以,,故选B.
2.已知，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，，则．
考点：导数的计算．
3.在中，已知，则等于( )
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
分析：根据余弦定理推论求得，然后可求得．
详解：∵，
∴．
由余弦定理的推论得，
又，
∴．
故选D．
点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．
4.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
试题分析：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．.
考点：复合命题的真假.
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
A选项中为0时不能成立，B选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C不成立，选D
6.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )
A. 5 B. 8 C. 5或8 D. 3或5
【答案】D
【解析】
【分析】
讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.
【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.
由焦距是2,可知，所以，解得；
当椭圆的焦点在y轴上时有：.
由焦距是2,可知，所以，解得.
故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.
7.下列曲线中离心率为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由得，选B.
【此处有视频，请去附件查看】
8.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.
【详解】因为是抛物线的方程，所以；
因为，所以，所以，
故选D.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如
的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.
9.设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题，求导，将x=-1代入可得答案.
【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，
解得
故选D
【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.
10.已知数列的前n项和，则的值为( )
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
【答案】C
【解析】
试题分析：，．故选C．
考点：已知数列的前项和，求项．
11.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（ ）
A. B. C. D. )
【答案】B
【解析】
设该直线与椭圆交于，则，则
，则，所以.故选B.
点睛：本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，其主要步骤是：（1）代点：；
（2）作差：；
（3）确定中点坐标和直线斜率的等量关系：.
12.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵，∴焦点，即，∵，∴，
即，∴，则，即，∴．
考点：抛物线的标准方程及几何性质．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上.
13.命题 ，则为___________；.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定方法：修改量词，否定结论，得到的结果.
【详解】因为修改为，修改为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意修改量词的同时否定结论.
14.等差数列中，，则 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：．
考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和．
15.曲线在点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据导函数求解出在点处切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.
【详解】因为，所以，
所以切线方程为：即.
故答案为：.
【点睛】本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，难度较易.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程.
16.过点双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.
【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，
设双曲线方程为：，所以，所以，
连接，由双曲线定义可知：，
所以，取等号时三点共线，
又因为，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.等差数列的前项和记为，已知．
（1）求通项；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）n=11.
【解析】
【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；
（2）先求出，再令解方程即可.
试题解析：
1设等差数列的公差为，
由得方程组，解得
所以
2由得方程，
解得
18.已知命题：方程表示焦点在y轴上椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.
【答案】
【解析】
试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准方程确定 ,再由 确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.
试题解析：将方程改写为，
只有当 即 时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以命题q等价于;
若p真q假，则 ；若p假q真，则
综上：的取值范围为
19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.
【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.
【解析】
【详解】(1)∵为，的等差中项，
∵,∴A
(2)△ABC的面积，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
20.设为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？
【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）
【解析】
【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，
∴a＜－或a＞1，
∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
21.设椭圆C：过点，右焦点为，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：Ⅰ将Q的坐标代入椭圆方程，以及的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；
Ⅱ求出直线l与轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长．
试题解析：
Ⅰ椭圆过点，
可得，由题意可得，即，
解得，
即有椭圆C的方程为；
Ⅱ直线l：与x轴交点轴交点，
联立，消y得，
设，则，
，
由，得：，
解得由得代入
得，
，
可得．
22.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为,求线段AB的长.
【答案】（1）；（2）6
【解析】
【分析】
（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-