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- 2021-04-20 发布
湖南省四校 2019 届高三摸底调研联考试题
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设复数 1 i 2i1 iz
，则 z （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．答案：D
解析： 3 3i1 i 3 3i 3 22i 31 i 1 i 1 i 2
z
．
2．已知集合 2{ | 1 1}, { | 2 0}A x x B x x x ，则 R A B （ ）
A．( 1,0] B．[ 1,2) C．[1,2) D．(1,2]
2．答案：C
解析： { | 1A x xR ≥ 或 1}x ≤ ，又 2{ | 2 0} { | 1 2}B x x x x x ，
所以 { |1 2}A B x x R ≤ ．
3．甲、乙两名同学 6 次考试的成绩如图所示，且这 6 次成绩的平均分分别为 ,x x甲 乙 ，标准差分别为 , 甲 乙 ，
则（ ）
A． ,x x 甲 乙 甲 乙 B． ,x x 甲 乙 甲 乙 C． ,x x 甲 乙 甲 乙 D． ,x x 甲 乙 甲 乙
3．答案：C
解析：由题图可知，甲同学除第 2 次考试成绩低于乙同学外，其他 5 次考试成绩都高于乙同学，所以
x x甲 乙 ．又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所
以 甲 乙 ．
4． 计算sin133 cos197 cos 47 cos73 的结果为（ ）
A． 1
2 B． 1
2 C． 2
2 D． 3
2
4．答案：B
解析：sin133 cos197 cos 47 cos 73 sin 47 cos17 cos 47 sin17 sin(17 47 )
1sin( 30 ) sin 30 2 ．
5．已知 , ,A B P 是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 上不同的三点，且 ,A B 连线经过坐标原点，若直线
,PA PB 的斜率乘积 3PA PBk k ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
5．答案：C
解析：由双曲线的对称性知，点 ,A B 关于原点对称，设 1 1 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )A x y B x y P x y ，则
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b ，两式相减，得
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
x x y y
a b
，又 1 2 1 2
1 2 1 2
,PA PB
y y y yk kx x x x
，所以
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
3PA PB
y y bk k x x a
，所以离心率
2
21 2be a ．
6．
9
2 12x x
的展开式中的常数项为（ ）
A．672 B． 672 C．84 D． 84
6．答案：A
解析：展开式中的常数项为
6
6 2 3
9
1(2 ) 672C x x
．
7．运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 21 ，则判断框可以填（ ）
A． 64?a B． 64?a ≤ C． 128?a D． 128?a ≤
7．答案：A
解析：执行程序框图， 1, 2; 1, 4; 3, 8; 5, 16S a S a S a S a ；
11, 32; 21, 64S a S a ．此时退出循环，所以判断框中可以填“ 64?a ”，故选 A．
8．已知函数 ( ) 2sin( ) ( 0, 0 )f x x 的部分图象如图所示，则 , 的值分别是（ ）
A． 31, 4
B． 2, 4
C． 3, 4
D． 2 , 4
8．答案：C
解析： 5 12 24 4T
，所以 2
T
，当 1
4x 时， 3,4 4x ．
9．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC ，异面直线 1AC 与 1BB 所成的角为30 ，则 1AA （ ）
A． 3 B．3 C． 5 D． 6
9．答案：D
解析：如图，连接 1 1AC ，由长方体的性质知 1 1//BB AA ，即 1A AC 即为异面直线 1AC 与 1BB 所成的角，
所以 1 30A AC ． 1 1 2AC ， 1 1
1
1 1
2 6tan tan 30
ACAA A AC
A B
CD
D1 C1
B1
10． ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 sin 1sin sin
A b
B C a c
，则C （ ）
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
10．答案：B
解析：由 sin 1sin sin
A b
B C a c
及正弦定理可得 1a b
b c a c
，整理可得 2 2 2a b c ab ．由余弦
定理知
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
，又 (0, )C ，所以
3C ．
11．已知 F 是抛物线 2: 8C y x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的
中点，则 FN （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．答案：B
解析：如图，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线 : 2l x 与 x 轴交于点 K ，做 MB l 于点 B ，
NA l 于点 A ，则 2, 4AN FK ，在直角梯形 ANFK 中，由中位线定理，知 32
AN FKBM ，
由抛物线的定义知 3MF MB ，所以 3MN MF ， 6FN FM MN ．
B
A
K
M
N
FO
12．已知函数 2( )f x a x （ 1 ,x e ee
≤ ≤ 为自然对数的底数）与 ( ) 2lng x x 的图象上存在关于 x 轴
对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 2
11, 2e
B． 2[1, 2]e C． 2
2
1 2, 2ee
D． 2[ 2, )e
12．答案：B
解析：由条件知，方程 2 2lna x x ，即 2 2lna x x 在 1 ,ee
上有解．设 2( ) 2lnh x x x ，则
2 2( 1)( 1)( ) 2 x xh x x x x
．当 1 ,1x e
时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递减；当 (1, )x e 时，
( ) 0, ( )h x h x 单调递增，所以 min( ) (1) 1h x h ．又 2
2
1 1 2, ( ) 2h h e ee e
，所以 1( )h e h e
，
所以 2 2lna x x 在 1 ,ee
上有解等价于 21 2a e ≤ ≤ ，所以实数 a 的取值范围是 2[1, 2]e ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知向量 (1,1) ( 3, 2)a b
，若向量 2ka b
与 a 垂直，则实数 k ．
13．答案： 1
解析： 2 ( 6, 4)ka b k k
，又因为 2ka b a
， 2 6 4 0ka b a k k
，解得 1k ．
14．已知实数 ,x y 满足约束条件
2 0
6 0
2 3 0
x y
x y
x y
≥
≤
≤
，则 2 3z x y 的最小值是 ．
14．答案： 8
解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 ( 1, 2), (5,1), (2, 4)A B C ，则 4, 7, 8A B Cz z z ，
min 8Cz z ．
x
y
O
A
B
C
15．已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 5 ( ) 02f x f x
，当 5 04 x ≤ ≤ 时， ( ) 2xf x a ，则
(16)f ．
15．答案： 1
2
解析：由 5 ( ) 02f x f x
，得 5( 5) ( )2f x f x f x
，所以函数 ( )f x 是以 5 为周期的周期
函数，则 (16) (1)f f ，又 ( )f x 是奇函数，所以 (0) 1 0, 1f a a ，所以当 5 04 x ≤ ≤ 时，
( ) 2 1xf x ，所以 1( 1) 2f ，则 1(1) ( 1) 2f f ，故 1(16) 2f ．
16．在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三
角形，若四棱锥 S ABCD 体积的取值范围为 4 3 8,3 3
，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是
．
16．答案： 28 ,203
解析：在四棱锥 S ABCD 中，由条件知 , ,AD SA AD SB SA AB A ，所以 AD 平面 SAB ，所
以是圆柱模型，所以平面 SAB 平面 ABCD ．设 SAB ，则
1 8 4 3 8sin ,3 3 3 3S ABCD ABCDV S SO
，所以 3sin ,12
， 2,3 3
，
所以 1 1cos2 2 ≤ ≤ ，在 SAB△ 中， 2SA AB ，所以 2 2 1 cosSB ，所以 SAB△ 的外接
圆半径为 2 1 cos
2sin sin
SBr
．外接球半径 2 1R r ，所以该四棱锥外接球的表面积
2 2 2 284 4 ( 1) 4 1 , 201 cos 3S R r
．
S
A
O
B C
D
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 2n nS a ．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若 n nb na ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ．
17．解析：（1） 2 2n nS a ① ， 1 12 2 ( 2)n nS a n ②≥ ，
① ② 得， 1 12 2n n n n nS S a a a ， 12 ( 2, )n na a n n
N≥ ，
在①式中，令 1n ，得 1 2a ，
所以数列{ }na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2n
na ．………………………………5 分
（2）由（1）得， 2n
nb n ，
2 3 1
2 3 4 1
1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2
2 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2
n n
n
n n
n
T n n
T n n
③
④
③ ④ 得， 2 3 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 2n n n n n n
nT n n n ，
1( 1) 2 2n
nT n ．……………………………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名销售员都有 1 400 万元的年度销售任务．已知这
200 名销售员的销售额都在区间[2, 22]（单位：百万元）内，现将其分成 5 组，第 1 组、第 2 组、第 3 组、
第 4 组、第 5 组对应的区间分别为[2, 6)，[6, 10)，[10,14)，[14,18)，[18, 22]，并绘制如下的频率分布直方
图．
（1）求 a 的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求这 5 组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的 2 名销
售员在同一组的概率．
18．解析：（1） (0.02 0.08 0.09 2 ) 4 1, 0.03a a ，
∴完成年度任务的人数为 2 0.03 4 200 48 ．…………………………………………………4 分
（2）第 1 组应抽取的人数为 0.02 4 25 2 ，第 2 组应抽取的人数为 0.08 4 25 8 ，
第 3 组应抽取的人数为0.09 4 25 9 ，第 4 组应抽取的人数为0.03 4 25 3 ，
第 5 组应抽取的人数为0.03 4 25 3 ．……………………………………………………………8 分
（3） 在（2）中完成年度任务的销售员中，第 4 组有 3 人，第 5 组有 3 人，
从这 6 人中随机选取 2 名，共有 2
6 15C 个基本事件，其中 2 名销售员来自同一组的事件数为 2 2
3 3 6C C ，
所以所求概率 6 2
15 5P ．…………………………………………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 2， D 为 1CC 的中点．
（1）求证： 1AB 平面 1A BD ；
（2）求锐二面角 1A A D B 的余弦值．
A
B
C
D
A1
B1
C1
19．解析：（1）取 BC 的中点O ，连接 1,AO B O ， ABC△ 为正三角形， AO BC ，
在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC 平面 1 1BCC B ，平面 ABC 平面 1 1BCC B BC ．
AO 平面 ABC ，且 AO BC ， AO 平面 1 1BCC B ，而 BD 平面 1 1BCC B ， AO BD ，
在正方形 1 1BCC B 中，易证得 1 1,BCD B BO CBD BB O △ ≌△ ，
1 1 1 90CBD BOB BB O BOB ， 1BD OB ，又 1AO OB O ，
BD 平面 1AOB ， 1BD AB ，在正方形 1 1ABB A 中，有 1 1A B AB ，又 1BD A B B ，
1AB 平面 1A BD ．……………………………………………………………………………………6 分
（2）取 1BC 的中点 1O ，连接 1OO ，以O 为原点， 1, ,OB OO OA
的方向分别为 , ,x y z 轴的正方向建立空
间直角坐标系O xyz ，如图所示，则 1 1(0,0, 3), ( 1,0,0), ( 1,2,0), (1,2,0)A C C B ，
1(1,0, 3), (0,2,0)AC CC
，设平面 1A AD 的法向量 ( , , )n x y z ，
则
1
3 0
2 0
n AC x z
n CC y
，令 1z ，得 3x ， ( 3,0, 1)n ，
由（1）知 1AB 平面 1A BD ， 1 (1,2, 3)AB
为平面 1A BD 的一个法向量，
1
1
1
2 3 6cos , 42 2 2
n ABn AB
n AB
，∴锐二面角 1A A D B 的余弦值为 6
4
．…………12 分
A
B
C
O
C1
A1
B1
D
O1
x
y
z
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b 的左、右顶点是双曲线
2
2
2 : 13
xC y 的顶点，且椭圆 1C 的上顶点
到双曲线 2C 的渐近线的距离为 3
2
．
（1）求椭圆 1C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆 1C 相交于不同的两点 1 2,M M ，与双曲线 2C 相交于不同的两点 1 2,Q Q ，且
1 2 5OQ OQ
（O 为坐标原点），求 1 2M M 的取值范围．
20．解析：（1）由题意可知 2 3a ，椭圆 1C 的上顶点为(0, )b ，双曲线 2C 的渐近线方程为 3 0x y ，
由点到直线的距离公式得， 3 3
2 2
b ，得 1b ，所以椭圆 1C 的方程为
2
2 13
x y ．…………3 分
（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y kx m ，将其代入
2
2 13
x y ，消去 y 并整理得：
2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x kmx m ，因为直线l 与双曲线 2C 相交于不同的两点，
所以
2 2
2 2 2 2 2 2
1 3 0 1 3 0
36 4(1 3 )( 3 3) 0 1 3
k k
k m k m m k
①
设 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )Q x y Q x y ，则有
2
1 2 1 22 2
6 3 3,1 3 1 3
km mx x x xk k
．
又 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) (1 ) ( ) 5OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m
，
所以 2 2 2 2 2 2
2
1 [(1 )( 3 3) 6 (1 3 )] 51 3 k m k m m kk
，得 2 21 9m k ②
将 y kx m 代入
2
2 13
x y ，消去 y 并整理得： 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x kmx m ，
易知 2 2 2 2 2 236 4(1 3 )(3 3) 0 3 1k m k m k m ， ③
由①②③得， 2 10 9k ≤ ． ………………………………………6 分
设 1 3 3 2 4 4( , ), ( , )M x y M x y ，则
2
3 4 3 42 2
6 3 3,1 3 1 3
km mx x x xk k
．
2 2 2 2
2 2 2
1 2 3 4 3 4 2 2
2 2
2
2 2
36 4(3 3)(1 3 )1 ( ) 4 1 (1 3 )
4(3 3 9 )1 (1 3 )
k m m kM M k x x x x k k
m kk k
………………8 分
将 2 21 9m k 代入，得
2 2 2
2
1 2 2 2 2 2
144 (1 )1 12(1 3 ) (1 3 )
k k kM M k k k
，令 21 3t k ，则 41, 3t
，
则
22 2
2
2 2 2 2
1 (1 ) ( 1)( 2) 1 2 1 2 1 1 1 5, 1 0,3 (1 3 ) 9 9 9 4 8 72
t k k t tk k t t t t
，
所以 1 2 (0, 10]M M ． ……………………………………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) ln 1
xf x axx
．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 (0,1)x 时， 2
4
1
ax ax xe e x
，求实数 a 的取值范围．
21．（1）
2
2 2
1 2 20, 1 1, ( ) , 1 11 1 1
x ax ax f x a xx x x
，易知 ( ) 2f x a ≥ ．
当 2a ≤ 时， ( ) 0, ( )f x f x ≥ 在( 1,1) 上单调递增．
当 2a 时， 2 2( ) 0 1 1f x xa a
， 2( ) 0 1 1f x x a
或 21 1xa ．
( )f x 在 2 21 , 1a a
上单调递减，在 21, 1 a
， 21 ,1a
上单调递增．……………5 分
（2）当 2a ≤ 时，由（1）知 ( )f x 在 ( 1,1) 上单调递增，
∴当 (0,1)x 时， ( ) (0) 0 ( )f x f f x ，即 1 1ln , ln1 1
x xax axx x
，
从而可得1 1,1 1
ax axx xe ex x
， 2
1 1 4
1 1 1
ax ax x x xe e x x x
．
当 2a 时，由（1）知 ( )f x 在 2 21 , 1a a
上单调递减，
当 20, 1x a
时， ( ) (0) 0 ( )f x f f x ，即 1 1ln , ln1 1
x xax axx x
，
从而可得1 1,1 1
ax axx xe ex x
， 2
1 1 4
1 1 1
ax ax x x xe e x x x
，不合题意，舍去．
综上所示，实数 a 的取值范围为( ,2] ．………………………………………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是
3
2
1
2
x t m
y t
（ 0,m t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2cos ．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与 x 轴交于点 P ，与曲线C 交于不同的两点 ,A B ，且 1PA PB ，求实数 m 的值．
22．（1）由题意知，直线l 的参数方程是
3
2
1
2
x t m
y t
（ 0,m t 为参数），消去参数t ，可得直线l 的普
通方程是 3x y m ．
由 2cos ，得 2 2 cos ， 2 2 2 , cos ,x y x 曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2x y x ．
………………………………………………………………………………………………………………5 分
（2）把
3
2
1
2
x t m
y t
代入 2 2 2x y x ，得 2 2( 3 3) 2 0t m t m m ．
则 2 2 23( 2 1) 4( 2 ) 2 3 ( 1)( 3) 0m m m m m m m m ，又 0m ， 0 3m ．
设点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 2
1 2 2t t m m ，
2
1 2 , 2 1PA PB t t m m ，解得 1 2m 或 1m ．
又 0 3, 1 2m m 或 1m ．……………………………………………………………………10 分
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
设函数 ( )f x x a x a ．
（1）当 1a 时，解不等式 ( ) 4f x ≥ ；
（2）若 ( ) 6f x ≥ 在 Rx 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
23．解析：（1）当 1a 时，不等式 ( ) 4 1 1 4f x x x ≥ ≥ ，
当 1x 时， ( ) 2 4f x x ≥ ，得 2x≥ ；
当 1 1x ≤ ≤ 时， ( ) 2 4f x ，原不等式无解；
当 1x 时， ( ) 2 4f x x ≥ ，解得 2x ≤ ．
综上所述，不等式 ( ) 4f x ≥ 的解集为 ( , 2] [2, ) ．……………………………………5 分
（2） ( ) ( ) ( ) 2f x x a x a x a x a a ≥ ，所以 2 6a ≥ ，解得 3a≥ 或 3a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是( , 3] [3, ) ．……………………………………………………10 分