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- 2021-04-20 发布
淄博一中2017—2018学年度第一学期期中模块考试
高二数学理试题
命题人：闫炳杰 审核人：钱汝富
（第一卷）
一、 选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个选项正确）
1.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A. -＞0
B. sinx-siny＞0
C. （）x-（）y＜0
D. lnx+lny＞0
2.若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（ ）
A. （，+∞）
B. （-∞，0）∪（，+∞）
C. （，+∞）
D. （-∞，0）∪（，+∞）
3.“-3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|＜2”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
4.命题“∀x∈（0，1），x2-x＜0”的否定是（ ）
A. ∃x0∉（0，1），
B. ∃x0∈（0，1），
C. ∀x0∉（0，1），
D. ∀x0∈（0，1），
5.已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
6.已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（ ）
A. 3或
B. 3
C.
D. ±3或
7.一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（ ）
A. 056，080，104
B. 054，078，102
C. 054，079，104
D. 056，081，106
8.已知x，y是[0，1]上的两个随机数，则x，y满足y＞2x的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. P是椭圆+=1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
11.已知实数x，y满足若z=x+my的最小值是-5，则实数m取值集合是（ ）
A. {-4，6}
B.
C.
D.
12.已知A，B是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为-，则E的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
（第二卷）
二、 填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 焦点在（-2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为 ______ ．
14. 命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则a的取值范围是_____________．
15. 关于x的不等式x2-2ax-3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且|x1-x2|=8，则a= ______ ．
16.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表：
使用年限x（单位：年）
2
3
4
5
6
维修费用y（单位：万元）
1.5
4.5
5.5
6.5
7.0
根据表可得回归直线方程为=1.3x+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费用约为 ______ 万元．
三、 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p为真命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
18.（本题12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．
19. （本题12分）已知，，且．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若，且，a+b=6，求△ABC的面积．
20.（本题12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．
成绩(分)
50 60 70 80 90 100
7a
6a
3a
2a
O
21.（本题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），（an≠0），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
22 （本题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△M F1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．
高二期中考试理科数学试题
答案和解析
【答案】
一、选择题：1. C 2. B 3. C 4. B 5.D 6. A 7. D 8.A 9. B 10. C 11. B 12. D
二、填空题：13. 14. （-∞，-1] 15. 2 16. 18。
三、解答题：
17.已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p为真命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
解：p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，
则△=m2-4＞0，解得m＜-2或m＞2；
q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
即m＞-x2+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，
设f（x）=-x2+2x，则f（x）=-（x-1）2+1，
当x=2时，f（x）取得最大值为f（2）=0；
所以m＞0；
又￢p为真命题，则p为假命题，所以-2≤m≤2；
由p为假命题，p∨q为真命题知q为真命题，
所以m的取值范围是（0，2]．
18.（本题12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：
（1）AE∥平面BDF；
（2）平面BDF⊥平面ACE．
证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．
19.（本题12分）已知，，且．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若，且，a+b=6，求△ABC的面积．
成绩(分)
50 60 70 80 90 100
7a
6a
3a
2a
O
解：（Ⅰ）向量，，
∵
∴，
∴==2sin．
，
则，
故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
成绩(分)
50 60 70 80 90 100
7a
6a
3a
2a
O
（Ⅱ）∵，
∴
∴
∵
由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC，
可得：（a+b）2-3ab=24，
∵a+b=6，
∴ab=4．
故得△ABC的面积S=．
20.（本题12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．
解：（1）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．
（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（3）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，
则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P=
21.（本题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），（an≠0），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（1）∵Sn=2an-2，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，…（2分）
由an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，
∵an≠0，则∴．…（3分）
∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2，
∴，
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，
∴bn=2n-1…（6分）
（II）∵…（7分）
，
∴
因此：，…（10分）
即：∴，
∴．
22 （本题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△M F1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．
解：（1）由题意知，2a+2c=6，
由椭圆离心率e===，则c=1,a=2,b2=3．
∴椭圆C的方程；
（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，
∴，
∴点O到直线AB的距离，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=，
由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
整理得：（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴．
∴7m2=12（k2+1），满足△＞0．
∴点O到直线AB的距离d===为定值．
综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．