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- 2021-04-20 发布
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2019-2020学年第一学期期中试卷
高一数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置．
1.集合A＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：集合的真子集有，共3个，故选C.
考点：集合的子集
2.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算法则可得出结果.
【详解】由题意可得.
故选：A.
【点睛】本题考查根式的运算，考查分数指数幂的应用与指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.
3.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合、，然后利用交集的定义可求出集合.
【详解】，，则.
解不等式，得，则.
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查了交集的运算，同时也考查了函数值域与对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
4.化简的结果为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由对数的运算性质即可得解.
【详解】==2-2=0.故选A.
【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.
5.若（且），则函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的取值范围，可得知函数的增减性，然后在此函数的基础上向右平移一个单位长度得出函数的图象，从而可得出正确选项.
【详解】（且），且，则指数函数为减函数，，
所以，对数函数在上为减函数，
在该函数图象的基础上向右平移一个单位长度得出函数的图象，
因此，C选项中的图象为函数的图象.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型函数图象的识别，解题的关键就是结合条件求出底数的取值范围，考查推理能力，属于基础题.
6.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，并求出集合，根据韦恩图表示的集合可得出结果.
【详解】，且，则.
图中阴影部分所表示的集合为且.
因此，图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
【点睛】本题考查韦恩图所表示集合的求解，解题时要弄清楚韦恩图所表示集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
7.已知函数，若关于的不等式的解集为，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．
【详解】关于的不等式的解集为，
可得，且，3为方程的两根，
可得，，即，，
，，
可得，（1），（4），
可得（4）（1），故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
8.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】，令，得，
由于二次函数在区间上单调递增，当时，.
因此，函数的值域为.
故选：D.
【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
9.已知集合，，若，则实数的取值个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，求出集合，结合条件求出实数的值，即可得出正确选项.
【详解】当时，成立；
当时，，且，则或.
因此，实数的取值个数为.
故选：A.
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也涉及一元二次方程的解法，解题的关键就是要对参数的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
10.已知偶函数在上是减函数，且，则满足不等式的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质，将不等式化为，利用函数在区间上的单调性得出，解出该不等式即可.
【详解】由于函数是上的偶函数，则，
，由，则，即.
函数在上是减函数，，即，解得.
因此，满足不等式的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在涉及到偶函数时，可以利用性质，可避免讨论，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
11.函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理可判断出函数的零点所在区间.
【详解】，，
，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理判断，难点在于计算函数值的正负，考查推理能力，属于中等题.
12.设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
由已知中函数，若关于的方程恰有
个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围．
【详解】函数的图象如下图所示：
关于的方程恰有个不同的实数解，
令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）
则方程（*）的两个解在（1，2]，
可得，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置．
13.已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式_____________．
【答案】
【解析】
设幂函数的解析式
又幂函数的图象过点
∴
∴
∴幂函数的解析式
故答案为：
14.函数的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.
【详解】令，解得或，
函数的定义域为.
内层函数的减区间为，增区间为.
外层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15.如图，函数的图象是两条线段，其定义域为，则满足不等式的的取值集合为________．
【答案】
【解析】
分析】
求出函数的解析式，由图象可知，函数为奇函数，由题意得出，然后分和解不等式即可.
【详解】由图象可得，且函数为奇函数，
由可得，即，则或.
当时，，解不等式，即，解得，
此时，；
当时，，解不等式，即，解得，此时.
因此，不等式的的取值集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用图象解函数不等式，解题的关键就是要求出函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16.若函数（且）有最小值，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出函数为增函数，且有，由此可解出实数的取值范围.
【详解】由于函数（且）有最小值，
当时，，此时函数单调递减，则.
所以，当时，函数单调递增，且，即，
解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用分段函数最值的存在性求参数的取值范围，解题时要从每支函数的单调性，以及分界点处函数值的大小关系来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；
（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．
【答案】 （Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3]
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）．
（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围．
【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，
B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}
∴A∩B={x|1≤x＜5}，
（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}
（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，
∴C⊆B，
当C=∅时，
解得
当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3
综上所述：m的取值范围是（-∞，3]
【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.已知函数，．
（1）解方程：；
（2）令，
①证明：为定值；
②求的值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②.
【解析】
【分析】
（1）由，得，换元，可得出，求出正数的值，即可得出的值；
（2）①利用指数的运算律可证明出；
②利用①中的结论，结合倒序相加法可求出
的值.
【详解】（1）方程即为，
令，则，解得（舍），或，即，解得；
（2）①证明：因，
；
②.
【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数恒等式的证明以及代数式和的计算，考查指数的运算律的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
19.已知函数，，其中．
（1）解关于的不等式：；
（2）若函数的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用对数函数的单调性和真数大于零列出关于实数的不等式组，解出即可；
（2）求出函数的定义域，利用复合函数法分析出函数的单调性，得出该函数的最小值为，由此可解出实数的值.
【详解】（1）不等式即为，
，对数函数在上为减函数，
，解得；
（2），
由，解得，所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
外层函数在上为减函数，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
，即，因此，.
【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型复合函数最值的求解，解题时要利用复合函数法分析出对数型复合函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20.已知函数．
（1）用单调性定义证明：函数在上是减函数，在是增函数；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）当关于的方程有两个不相等的正根时，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）任取，作差，通分，因式分解，然后分和两种情况讨论，判断的符号，即可证明出函数在区间和
上的单调性；
（2）求出函数在区间上值域，由得知实数的取值范围即为函数在区间上的值域，即可求解；
（3）将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.
【详解】（1）设，
．
当时，，，，，
即，所以，函数在上单调递减．
当时，，，，，
即，所以，函数在上单调递增；
（2）函数在上单调递减，在上单调递增，
，且，．
方程在有解，，因此，实数的取值范围是；
（3）方程为，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数在区间
上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，解题时可以利用参变量分离法，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
21.已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性，并给出理由；
（2）若函数为奇函数，求实数的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2），理由见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数的解析式，利用特殊值法判断出函数为非奇非偶函数；
（2）解法一：先由，求出，然后利用定义验证出函数为奇函数；
解法二：由，可得出对任意的实数恒成立，即可得出实数的值；
（3）由奇函数的性质得出，利用定义证明出函数为上的增函数，可得出对任意的实数恒成立，并求出函数的值域，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，关于原点对称，
且，，
且，函数为非奇非偶函数；
（2）解法一：因为为奇函数，所以，得．
.
检验：函数定义域为，，
当时，函数为奇函数；
解法二：因为为奇函数，恒成立，
，即，即，
即，即对任意的实数恒成立，；
（3）不等式恒成立，
函数为奇函数，恒成立，
，
设，，则有，
，函数在上单调递增，恒成立，
，则，则有，，所以，，即，因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、利用奇偶性求参数，以及利用函数单调性求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22.已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后分、、三种情况讨论，结合函数图象，得出二次函数对称轴与区间的位置关系，由此得出关于实数的不等式，解出即可；
（2）分析函数在区间上的单调性，得出函数在该区间上的最小值关于的表达式，再由最小值为，求出实数的值.
【详解】（1）.
①当时，且当时，，此时函数在上递单调递增，可取；
②当时，，且当时，，
由于二次函数开口向上，对称轴为直线，
如图可知，函数在上单调递增，可取；
③当时，如图可知，若函数在上单调递增，
则或，得或．
综上所述，实数的取值范围是；
图1 图2
（2）①当时，函数在上单调递增，
所以，即，
解得（舍）或；
②当时，函数在上单调递增，
所以，即，（均舍）；
③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，.
当时，，所以，即，
得，均舍；
当时，，则，即，
得可取；
④当时，则，此时，函数在上单调递减，在上单调递增，，得，均舍．
综上，或．
【点睛】本题考查含绝对值函数的单调性与最值的求解，利用数形结合思想求解是关键，此外要注意对参数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.