高二数学人教a必修5模块综合检测word版含解析 9页

模块综合检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 知识点分布表 知识点 不等式的 性 质及应用 与三角形面 积有关的问 题 数列的有 关 计算及性 质 三角形中 的 有关计算 等比数 列 前 n 项 和 线 性 规 划 等差数 列 前 n 项 和 基本 不等式 判断三 角 形的形 状 综合与 实际应用 相应题 号 1 2 3,10 4 5,12 6 7,14,15 8,11,139 16,17,18, 19,20,21,22 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2015 江西吉安联考,1)若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) A. 1 1 B. 2+1 2+1C.a2>b2 D.a|c|>b|c| 答案:B 解析:A.∵当 1>-2 时,1<- 1 2 不成立, ∴ 1 1 不成立. B.∵c2+1≥1,a>b,∴ 2+1 2+1 ,故 B 正确. C.∵当 1>-2 时,1>4 不成立, ∴a2>b2 不成立. D.当 c=0 时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选 B. 2.在 △ ABC 中,A=60°,AB=2,且 △ ABC 的面积为 3 2 ,则 BC 的长为( ) A. 3 B.3 C. 7 D.7 答案:A 解析:S= 1 2 ×AB·ACsin 60°= 1 2 ×2× 3 2 AC= 3 2 , 所以 AC=1. 所以 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3. 所以 BC= 3 ,故选 A. 3.若 5,x,y,z,21 成等差数列,则 x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 答案:C 解析:因为 5,x,y,z,21 构成等差数列,所以 y 是 x,z 的等差中项,也是 5,21 的等差中项,所以 x+z=2y,5+21=2y,所以 y=13,x+z=26,所以 x+y+z=39. 4.在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D. 3答案:C 解析:利用正弦定理,将 bcos C+ccos B=2b 化为 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, 即 sin(B+C)=2sin B. ∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B. 利用正弦定理可得 a=2b,故 =2. 5.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- 4 3 ,则{an}的前 10 项和等于( ) A.-6(1-3-10) B. 1 9 (1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 答案:C 解析:由 3an+1+an=0,得 +1 =- 1 3 . 所以{an}是以 q=- 1 3 为公比的等比数列. 所以 a1=a2· 1 =- 4 3 ×(-3)=4. 所以 S10=4 1 - - 1 3 10 1+1 3 =3(1-3-10),故选 C. 6.(2015 河北邯郸三校联考,6)设变量 x,y 满足约束条件 ≥ 1 , + - 4 ≤ 0 , - 3 + 4 ≤ 0 , 则目标函数 z=3x-y 的最大值为 ( ) A.-4 B.0 C. 4 3 D.4 答案:D 解析:画出不等式组表示的平面区域, 将目标函数变形为 y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在 y 轴上的截距最 小,z 最大,最大值为 6-2=4.故选 D. 7.已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8=8a13,则前 n 项和 Sn 取最大值时,n 的值为( ) A.20 B.21 C.22 D.23 答案:B 解析:由 5a8=8a13 得 5(a1+7d)=8(a1+12d) ⇒ d=- 3 61 a1, 由 an=a1+(n-1)d=a1+(n-1) - 3 61 1 ≥0 ⇒ n≤ 64 3 =21 1 3 , 所以数列{an}前 21 项都是正数,以后各项都是负数, 故 Sn 取最大值时,n 的值为 21,选 B. 8.(2015 福建宁德五校联考,8)已知正实数 a,b 满足 2 + 1 =1,x=a+b,则实数 x 的取值范围是( ) A.[6,+∞) B.(2 2 ,+∞) C.[4 2 ,+∞) D.[3+2 2 ,+∞) 答案:D 解析:∵ 2 + 1 =1, ∴x=a+b=(a+b) 2 + 1 =2+1+ 2 + ≥3+2 2 当且仅当 2 = ,即 = 2 + 1 , = 2 + 2 时, 等号成立 .故选 D. 9.(2015 河南南阳高二期中,7)在 △ ABC 中,若 tan Atan B>1,则 △ ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案:A 解析:因为 A 和 B 都为三角形中的内角, 由 tan Atan B>1,得到 1-tan Atan B<0, 且得到 tan A>0,tan B>0,即 A,B 为锐角, 所以 tan(A+B)= tan+tan 1 - tantan <0, 则 A+B∈ π 2 , π ,即 C 为锐角, 所以 △ ABC 是锐角三角形. 10.(2015 山东潍坊四县联考,10)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则 a11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42 答案:D 解析:因为 nan+1=(n+1)an+2,n∈N*, 所以在等式的两边同时除以 n(n+1), 得 +1 +1 =2 1 - 1 +1 . 所以 11 11 = 1 1 +2 1 10 - 1 11 + 1 9 - 1 10 + … + 1 - 1 2 = 42 11 .所以 a11=42.故选 D. 11.(2015 陕西高考,10)设 f(x)=ln x,0p C.p=rq 答案:C 解析:∵f(x)=ln x, ∴p=f( )=ln = 1 2 (ln a+ln b)=r. 又∵0ln ,即 q>r,综上 p=r4,函数 y=x+ 1 - 4 ,当 x= 时,函数有最小值 为 . 答案:5 6 解析:∵x>4,∴x-4>0. ∴y=x+ 1 - 4 =x-4+ 1 - 4 +4 ≥2 ( - 4 )· 1 - 4 +4=6. 当且仅当 x-4= 1 - 4 即 x=5 时等号成立. 14.(2015 山东潍坊四县联考,12)等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = 3 - 1 2+3 ,则 8 8 = . 答案: 4 3 解析: 28 28 = 1+15 1+15 = 15 2 ( 1+15 ) 15 2 ( 1+15 ) = 15 15 = 3×15 - 1 2×15+3 = 4 3 . 15.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则 a2 015= . 答案:8 057 解析:由 an=an-1+an-2-an-3,得 an+1=an+an-1-an-2, 两式作和得:an+1=2an-1-an-3, 即 an+1+an-3=2an-1(n=4,5,…). ∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a1=1,a3=9, ∴奇数项构成的等差数列的公差为 8. 则 a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为 8 057. 16.(2015 福建宁德五校联考,16)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,有下列结论: ①若 A>B,则 sin A>sin B; ②若 c2B,则 a>b,由正弦定理得 sin A>sin B,命题①正确; 对于②,若 c20,说明 C 为锐角,但 A,B 不一定为锐角, △ ABC 不一定是锐 角三角形,命题②错误; 对于③,若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B,即 sin A+sin C=2sin(A+C),命题③正确; 对于④,若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac, 则 cos B= 2+2 - 2 2 = 2+2 - 2 ≥ 2 = 1 2 ,命题④正确. 三、解答题(17~20 小题及 22 小题每小题 12 分,21 小题 10 分,共 70 分) 17.(2015 福建厦门高二期末,17)已知 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=4,cos B= 4 5 . (1)若 b=3,求 sin A 的值; (2)若 △ ABC 的面积为 12,求 b 的值. 解:(1)∵cos B= 4 5 ,00 在 a∈[1,2]上恒成立,求实数 b 的取值范围. 解:(1)当 b=3 时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2, ①∵不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2], ∴1,2 是方程 x2-3ax+2a2=0 的两根. ∴ 1 + 2 = 3 , 1 × 2 = 2 2 ,解得 a=1. ②∵x2-3ax+2a2<0, ∴(x-a)(x-2a)<0. ∴当 a>0 时,此不等式的解集为(a,2a), 当 a=0 时,此不等式的解集为空集, 当 a<0 时,此不等式的解集为(2a,a). (2)由题意 f(2)=4-2ab+2a2>0 在 a∈[1,2]上恒成立, 即 b10, 即 x2+10x-2 000>0, 解得 x>40 或 x<-50(x<-50 不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过 40 km/h,超过规定限速. 22.(2015 河南南阳高二期中,22)已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan= +1 2 an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{n2an}的前 n 项和 Tn; (3)若存在 n∈N*,使得 an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为 a1+2a2+3a3+…+nan= +1 2 an+1(n∈N*), 所以 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1= 2 an(n≥2). 两式相减得 nan= +1 2 an+1- 2 an, 所以( +1 ) +1 =3(n≥2). 因此数列{nan}从第二项起,是以 2 为首项,以 3 为公比的等比数列, 所以 nan=2·3n-2(n≥2).故 an= 1 , = 1 , 2 · 3 - 2 , ≥ 2 . (2)由(1)可知当 n≥2 时,n2an=2n·3n-2, 当 n≥2 时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2, ∴3Tn=3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1. 两式相减得 Tn= 1 2 + - 1 2 ·3n-1(n≥2). 又∵T1=a1=1 也满足上式, ∴Tn= 1 2 + - 1 2 ·3n-1. (3)an≥(n+1)λ等价于λ≤ +1 , 由(1)可知当 n≥2 时, +1 = 2 · 3 - 2 ( +1 ), 设 f(n)= ( +1 ) 2 · 3 - 2 (n≥2,n∈N*), 则 f(n+1)-f(n)=-( +1 )( - 1 ) 3 - 1 <0, ∴ 1 ( +1 ) ≥ 1 ( ). 又 1 ( 2 ) = 1 3 及 1 2 = 1 2 , ∴所求实数λ的取值范围为λ≤ 1 3 .