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- 2021-04-20 发布
舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试
高二理数
（总分：150分 时间：120分钟）
第I卷
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)
1．命题“”的否定是 （ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“且”是“”的 （ ）
A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”
5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于 （ ）
A． B． C． D．
6．方程表示的曲线为 （ ）
A．一个圆 B．半个圆 C．两个半圆 D．两个圆
7．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出Z的值是 （ ）
舒中高二期末理数 第1页 (共4页)
A．21 B．22 C．23 D．24
9．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，给出下列结论，其中正确的个数是（ ）
①公共图书馆业机构数与年份有较强的正相关性；
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个；
③预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个.
A．0 B．1 C．2 D．3
10．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”
是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．15
11．已知空间三点坐标分别为，又点在平面ABC内，则的值 （ ）
A． B．1 C．10 D．11
12．已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请你将正确的答案填在空格处)
13．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________．
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
14．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_________.
15．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .
16．已知，若且,则
的取值范围为__________．
三.解答题(本大题共6小题,共70分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等)
17.（本大题满分10分）已知命题甲：关于的不等式的解集为实数集,命题乙：关于的方程有两个不相等的实根.
（1）若甲、乙都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
18.（本大题满分12分20090423
）已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标
19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
舒中高二期末理数 第4页 (共4页)
20.（本大题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以
，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
21.（本题满分12分）已知函数，．
（1）求函数图像在点处的切线方程；
（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．
22.（本大题满分12分）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.
舒城中学2019～2020学年度第一学期期末
舒城中学 高 班 姓名 考号
高二数学试卷
（总分：150分 时间：120分钟）
第I卷
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)
1．命题“”的否定是（ C ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ B ）
A． B． C． D．
3．已知，则“且”是“”的（ C ）
A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ C ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C． “恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”
5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ B ）
A． B． C． D．
6．方程表示的曲线为（ C ）
A．一个圆 B．半个圆 C．两个半圆 D．两个圆
7．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ A ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出Z的值是（ A ）
A．21 B．22 C．23 D．24
9．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，
给出下列结论，其中正确的个数是（ D ）
①公共图书馆业机构数与年份有较强的正相关性；
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个；
③预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个.
A．0 B．1 C．2 D．3
10．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了
测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其
包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影
部分，据此可估计阴影部分的面积是（ C ）
A．2 B．3 C．10 D．15
11．已知空间三点坐标分别为，又点在平面ABC内，则的值 （ D ）
A． B．1 C．10 D．11
12．已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ B ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请你将正确的答案填在空格处)
13．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为____43______．
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
14．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为_________.
15．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .
16．已知，若且,则的取值范围__．
三.解答题(本大题共6小题,共70分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等)
17.（本大题满分10分）已知命题甲：关于的不等式的解集为实数集,命
题乙：关于的方程有两个不相等的实根.
（1）若甲、乙都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
17．(1) (2)a>1或a<-4
【详解】
命题甲：由题得
命题乙：由题得或.
（1）若甲、乙都是真命题，所以；
（2）假设甲、乙两个命题都是假命题，甲是假命题，则或，乙是假命题，则,所以.
如果甲、乙中至少有一个是真命题，则a>1或a<4.
18.（本大题满分12分20090423
）已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标
【解析】（1）设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，
由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为；
（2）如图，设，由题意得，
由题意知直线的斜率存在，从而设AB方程为，显然，
将与联立消去，得
由韦达定理知
由，即
将①式代入上式整理化简可得：，
所以AB方程为过定点.
19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
（1） 略 ……………………………………………… ……4分
（2） ∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．………………………………8
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．……………………12分
20.（本大题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层
抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
20．（1）；（2），；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0. 0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
21.（本题满分12分）已知函数，．
（1）求函数图像在点处的切线方程；
（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．
21.（1）………………4分
（2）………………12分
22.（本大题满分12分）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积取最大值时直线的方程.
22. （1） …………………………4分
（2） …………………………12分