2021高考数学一轮复习课时作业58二项式定理理 6页

1 课时作业 58 二项式定理 [基础达标] 一、选择题 1．[2020·河北唐山检测]在 x 2 － 2 x 6 的展开式中，x2 的系数为( ) A.15 4 B．－15 4 C.3 8 D．－3 8 解析： x 2 － 2 x 6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 6 x 2 6－r － 2 x r＝(－1)rCr 622r－6x3－r，令 r ＝1，可得 x2 的系数为(－1)1×C1 6×22×1－6＝－3 8 .故选 D. 答案：D 2．[2020·黑龙江哈尔滨三中测评] x＋ 1 2 x 8 的展开式中常数项的二项式系数为 ( ) A．70 B.35 8 C.35 4 D．105 解析：Tr＋1＝ ＝Cr 8 1 2 rx4－r，当 4－r＝0，即 r＝4 时，所得项为常数项，所以常数项的二项式系数为 C4 8＝70，故选 A. 答案：A 3．[2020·河北保定检测](1－2x)5(2＋x)的展开式中，x3 的系数是( ) A．－160 B．－120 C．40 D．200 解析：(1－2x)5(2＋x)的展开式中 x3 的系数是(1－2x)5 的展开式中 x3 的系数的 2 倍与(1 －2x)5 的展开式中 x2 的系数的和，易知(1－2x)5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－2)rCr 5xr，令 r＝3，得 x3 的系数为－8C3 5＝－80，令 r＝2，得 x2 的系数为 4C2 5＝40，所以(1－2x)5(2＋x) 的展开式中 x3 的系数是－80×2＋40＝－120.故选 B. 答案：B 2 4．[2020·江西重点中学协作体联考](1＋x－x2)10 展开式中 x3 的系数为( ) A．10 B．30 C．45 D．210 解析：(1＋x－x2)10＝[1＋(x－x2)]10 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 10(x－x2)r.(x－x2)r 的通项公式为 T′m＋1＝Cm r·xr－m·(－x2)m＝(－1)mCm rxr＋m，令 r＋m＝3，根据 0≤m≤r，r∈N， m∈N，得 r＝2， m＝1 或 r＝3， m＝0， ∴(1＋x－x2)10 展开式中 x3 项的系数为－C2 10C1 2＋C3 10C0 3＝－90 ＋120＝30.故选 B. 答案：B 5．[2020·江西八校联考]若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则 a1＋a2＋…＋ a7 的值是( ) A．－2 B．－3 C．125 D．－131 解析：对于题中等式，令 x＝0，得 a0＝1；令 x＝1，得－2＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8， ∴a1＋a2＋…＋a7＋a8＝－3.∵(1＋x)(1－2x)7＝(1＋x)·[C0 7×17×(－2x)0＋C1 7×16×(－ 2x)1＋…＋C7 7×10×(－2x)7]，∴a8＝C7 7×10×(－2)7＝－128，∴a1＋a2＋…＋a7＝125.故选 C. 答案：C 6．[2020·广东佛山检测](2x－y)(x＋2y)5 展开式中 x3y3 的系数为( ) A．－40 B．120 C．160 D．200 解析：(2x－y)(x＋2y)5 展开式中 x3y3 的项为 2x·C3 5x2·(2y)3＋(－y)C2 5·x3·(2y)2＝ 160x3y3－40x3y3＝120x3y3，故展开式中 x3y3 的系数为 120.故选 B. 答案：B 7．[2020·浙江金华十校联考]已知(x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋ a8(x－1)8，则 a3＝( ) A．64 B．48 C．－48 D．－64 解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2 ＋…＋a8(x－1)8，得 a3·(x－1)3＝C1 4·(x－1)3·2＋C5 8·(x－1)3·(－1)5，∴a3＝8－C5 8＝－ 48.故选 C. 答案：C 8．[2020·河南新乡调研]“a>1”是“ x－ a 6x 4(a∈R)的展开式中的常数项大于 1”的 ( ) 3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析： x－ a 6x 4(a∈R)的展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 4x4－k· － a 6x k＝Ck 4x4－2k· －a 6 k， 令 4－2k＝0，得 k＝2，所以展开式中的常数项为 C2 4· －a 6 2＝6×a2 6 ＝a2，若展开式中的常数 项大于 1，则 a2>1，得 a>1 或 a<－1，即“a>1”是“ x－ a 6x 4(a∈R)的展开式中的常数项 大于 1”的充分不必要条件．故选 A. 答案：A 9．[2020·北京朝阳区高考高效训练]若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x) ＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则 a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝( ) A.3 4 (3n－1) B.3 4 (3n－2) C.3 2 (3n－2) D.3 2 (3n－1) 解析：在等式中，令 x＝2，得 3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即 a0 －a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝3 1－3n 1－3 ＝3 2 (3n－1)．故选 D. 答案：D 10．[2020·湖南邵阳联考]设命题 p1： x＋2 x 4 的展开式共有 4 项； 命题 p2： x＋2 x 4 的展开式的常数项为 24； 命题 p3： x＋2 x 4 的展开式中各项的二项式系数之和为 16. 那么，下列命题中为真命题的是( ) A．綈 p2 B．p1∧p2 C．p2∧p3 D．p1∨(綈 p3) 解析： x＋2 x 4 的展开式共有 5 项，常数项为 22C2 4＝24，各项的二项式系数之和为 24＝16， 故 p1 为假命题，p2，p3 均为真命题，则 p2∧p3 为真命题．故选 C. 答案：C 二、填空题 4 11．[2020·上海浦东新区检测]已知 x＋ 1 2 x n 的展开式中，前三项的二项式系数之 和为 37，则展开式中的第五项的系数为________． 解析： x＋ 1 2 x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为 C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＝1＋n＋ n n－1 2 ＝37，得 n＝8，故展开式中的第五项的系数为 C4 8× 1 2 4＝35 8 . 答案：35 8 12．[2019·江苏卷]在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是________，系数为有理 数的项的个数是________． 解析：该二项展开式的第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck 9( 2)9－kxk，当 k＝0 时，第 1 项为常数项， 所以常数项为( 2)9＝16 2；当 k＝1,3,5,7,9 时，展开式的项的系数为有理数，所以系数 为有理数的项的个数为 5. 答案：16 2 5 13．[2020·湖北重点高中协作体联考]在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8 的展开式中， x2 的系数是________． 解析：由题意可知(1＋x)3 ＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8 的各项中 x2 的系数分别为 C2 n ， 3≤n≤8，n∈N，所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8 的展开式中 x2 的系数为 C2 3＋C2 4＋C2 5＋… ＋C2 8＝C3 3＋C2 3＋C2 4＋C2 5＋…＋C2 8－1＝C3 4＋C2 4＋C2 5＋…＋C2 8－1＝C3 5＋C2 5＋…＋C2 8－1＝…＝C3 9－1＝ 83. 答案：83 14．[2020·陕西彬州第一次教学质量监测]如果 3x－ 1 3 x2 n 的展开式中各项系数之和为 256，则展开式中1 x2的系数是________． 解析：令 x＝1，可得各项系数之和为(3－1)n＝256，求得 n＝8，则 3x－ 1 3 x2 n＝ 3x－ 1 3 x2 8 的通项公式是 Tr＋1＝Cr 8·(3x)8－r· － 1 3 x2 r＝Cr 8·38－r·(－1)r·x 58- r3 ，令 8－5 3 r＝－2，解 得 r＝6.故展开式中1 x2的系数是 C6 8·32＝252. 答案：252 5 [能力挑战] 15．若二项式 x－ 1 x n 的展开式中第 m 项为常数项，则 m，n 应满足( ) A．2n＝3(m－1) B．2n＝3m C．2n＝3(m＋1) D．2n＝m 解析：由题意得， x－ 1 x n 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－1)rCr nx 3n- 2 r ，当 n＝3 2 r，即 2n＝3r 时，为常数项，此时 r＝m－1，所以 m，n 应满足 2n＝3(m－1)，故选 A. 答案：A 16．[2020·海南三亚华侨学校检测]在 x＋ 1 3 x 24 的展开式中，x 的指数是整数的项数 是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵ x＋ 1 3 x 24 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 24( x)24－r 1 3 x r＝Cr 24x 512- 6 r ，∴当 r＝0,6,12,18,24 时，x 的指数是整数，故 x 的指数是整数的有 5 项，故选 D. 答案：D 17．(1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为 ________；系数最大的项为________． 解析：T6＝C5 n(2x)5，T7＝C6 n(2x)6， 依题意有 C5 n·25＝C6 n·26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C4 8·(2x)4＝1 120x4， 设第 r＋1 项系数最大，则有 Cr 8·2r≥Cr－1 8 ·2r－1， Cr 8·2r≥Cr＋1 8 ·2r＋1 ⇒5≤r≤6. ∴r＝5 或 r＝6(∵r∈{0,1,2，…，8})， ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 答案：1 120x4 1 792x6 6