山东省泰安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（可编辑） PDF版含答案 9页

书书书 试卷类型：Ａ高二年级考试 数　 学　 试　 题 ２０２０ ７ 注意事项： １． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 ２． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 ３． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． １． 若集合 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４，５，６｝，Ｓ ＝ ｛１，４，５｝，Ｔ ＝ ｛２，３，４｝，则 Ｓ∩（Ｕ Ｔ）＝ Ａ． ｛１，４，５，６｝　 　 　 　 　 Ｂ． ｛１，５｝　 　 　 　 　 Ｃ． ｛４｝　 　 　 　 　 Ｄ． ｛１，２，３，４，５｝ ２． 已知（１ ＋ ｉ）ｚ ＝ ｉ，ｉ 为虚数单位，则在复平面内，复数 ｚ 的共轭复数 珋ｚ 对应的点在 Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限 Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限 ３． 已知命题 ｐ： ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，（ｆ（ｘ２ ）－ ｆ（ｘ１ ））（ｘ２ － ｘ１ ）≥０，则命题 ｐ 的否定是 Ａ． ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，（ｆ（ｘ２ ）－ ｆ（ｘ１ ））（ｘ２ － ｘ１ ）≤０ Ｂ． ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，（ｆ（ｘ２ ）－ ｆ（ｘ１ ））（ｘ２ － ｘ１ ）≤０ Ｃ． ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，（ｆ（ｘ２ ）－ ｆ（ｘ１ ））（ｘ２ － ｘ１ ）＜ ０ Ｄ． ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，（ｆ（ｘ２ ）－ ｆ（ｘ１ ））（ｘ２ － ｘ１ ）＜ ０ ４． 已知 ａ ＝ ｌｏｇ３５，ｂ ＝ ３ － ０． ２ ，ｃ ＝ ３１． ２ ，则 Ａ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｂ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ Ｃ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｄ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ ５． 现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为 ｐ． 某检验员从该生产线上随机抽 检 ５０ 个 零 件，设 其 中 优 等 品 零 件 的 个 数 为 Ｘ． 若 Ｄ （Ｘ ） ＝ ８， Ｐ（Ｘ ＝ ２０）＜ Ｐ（Ｘ ＝ ３０），则 ｐ ＝ Ａ． ０． １６ Ｂ． ０． ２ Ｃ． ０． ８ Ｄ． ０． ８４ ６． 已知定义域为 Ｒ 的偶函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（２ ＋ ｘ）＝ ｆ（２ － ｘ），当 ２≤ｘ≤４ 时，ｆ（ｘ）＝ ２ｘ － １，则 ｆ（２０２０）＝ Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ． ７ Ｄ． ９ ７． 命题“对任意实数 ｘ∈［１，３］，关于 ｘ 的不等式 ｘ２ － ａ≤０ 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 Ａ． ａ≤９ Ｂ． ａ≥８ Ｃ． ａ≥９ Ｄ． ａ≥１０ ８． 若存在 ｘ∈［１ ｅ ，ｅ］，使得不等式 ２ｘｌｎｘ ＋ ｘ２ － ｍｘ ＋ ３≥０ 成立，则实数 ｍ 的最大值为 Ａ． １ ｅ ＋ ３ｅ － ２ Ｂ． ２ ＋ ｅ ＋ ３ ｅ Ｃ． ４ Ｄ． ｅ２ － １ 高二数学试题 第 １ 页（共 ４ 页） 二、多项选择题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得 ５ 分，部分选对的得 ３ 分，有选错的得 ０ 分． ９． 下列等式正确的是 Ａ． （ｎ ＋ １）Ａｍ ｎ ＝ Ａｍ ＋ １ ｎ ＋ １ Ｂ． ｎ！ ｎ（ｎ － １）＝ （ｎ － ２）！ Ｃ． Ｃｍ ｎ ＝ Ａｍ ｎ ｎ！ Ｄ． １ ｎ － ｍＡｍ ＋ １ ｎ ＝ Ａｍ ｎ １０． 设离散型随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ ｑ ０． ４ ０． １ ０． ２ ０． ２ 若离散型随机变量 Ｙ 满足 Ｙ ＝ ２Ｘ ＋ １，则下列结果正确的有 Ａ． ｑ ＝ ０． １ Ｂ． Ｅ（Ｘ）＝ ２，Ｄ（Ｘ）＝ １． ４ Ｃ． Ｅ（Ｘ）＝ ２，Ｄ（Ｘ）＝ １． ８ Ｄ． Ｅ（Ｙ）＝ ５，Ｄ（Ｙ）＝ ７． ２ １１． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｜ ｘ ｜ － ｘ ＋ １ ｘ ，则下列结论正确的是 Ａ． ｆ（ｘ）恰有 ２ 个零点 Ｂ． ｆ（ｘ）在（槡５ ＋ １ ２ ，＋ ∞ ）上是增函数 Ｃ． ｆ（ｘ）既有最大值，又有最小值 Ｄ． 若 ｘ１ ｘ２ ＞ ０，且 ｆ（ｘ１ ）＋ ｆ（ｘ２ ）＝ ０，则 ｘ１ ｘ２ ＝ １ １２． 已知甲罐中有 ５ 个红球，２ 个白球和 ３ 个黑球，乙罐中有 ４ 个红球，３ 个白球和 ３ 个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用 Ａ１ ，Ａ２ ，Ａ３ 表示由甲罐取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，用 Ｂ 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是 Ａ． Ｐ（Ｂ）＝ ２ ５ Ｂ． Ｐ（Ｂ ｜ Ａ１ ）＝ ５ １１ Ｃ． 事件 Ｂ 与事件 Ａ１ 相互独立 Ｄ． Ａ１ ，Ａ２ ，Ａ３ 是两两互斥的事件三、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． 函数 ｙ ＝ ｌｎ（－ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ３）的定义域为　 ▲　 ． １４． 数独是源自 １８ 世纪瑞士的一种数学游戏． 如图是数独的一个简化版，由 ３ 行 ３ 列 ９ 个单元格构成． 玩该游戏时，需要将数字 １，２，３（各 ３ 个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行，每一列均有 １，２，３ 这三个数字，则不同的填法有　 ▲　 种（用数字作答）． １５． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ （１ ２ ）ｘ － １ ，ｘ ＜ １ ｌｏｇ １ ２ ｘ， ｘ≥{ １ ，则 ｆ（０）＋ ｆ（２）＝ 　 ▲　 ； 若 ｆ［ｆ（ａ）］＝ ２，则实数 ａ ＝ 　 ▲　 ． （本题第一空 ２ 分，第二空 ３ 分） １６． 若直线 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 是曲线 ｙ ＝ ｌｎｘ ＋ ２ 的切线，也是曲线 ｙ ＝ ｌｎ （ｘ ＋ １）的切线，则 ｂ ＝ 　 　 ▲　 　 ． 高二数学试题 第 ２ 页（共 ４ 页） 四、解答题：本题共 ６ 小题，共 ７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７． （１０ 分） 已知复数 ｚ ＝ ５ １ ＋ ２ｉ ＋ １ ＋ ｉ，ｉ 为虚数单位． （１）求｜ ｚ｜ 和 珋ｚ；（２）若复数 ｚ 是关于 ｘ 的方程 ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ ｎ ＝ ０ 的一个根，求实数 ｍ，ｎ 的值． １８． （１２ 分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第 ５ 项的系数与第 ３ 项的系数之比是 １４ ∶ ３ ②第 ２ 项与倒数第 ３ 项的二项式系数之和为 ５５ ③Ｃ２ ｎ ＋ １ － Ｃｎ － ２ ｎ ＝ １０ 已知在槡ｘ － １ ３槡( )ｘ ｎ 的展开式中， ． （１）求展开式中二项式系数最大的项；（２）求展开式中含 ｘ５ 的项． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． １９． （１２ 分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访了男性、女性居民各 ５０ 名，其中每人每天健身时间不少于 １ 小时的称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 男性 ４０ １０ ５０ 女性 ３０ ２０ ５０ 合计 ７０ ３０ １００ 　 　 （１）若居民每人每天的平均健身时间不低于 ７０ 分钟，则称该社区为“健身社区”． 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是 １ ２ 小时，０ ８ 小时，１ ５ 小时，０ ７ 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（２）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 ０． ０５ 的前提下认为“健身族”与“性别”有关系？ 参考公式：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ）２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ），其中 ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ． 参考数据： Ｐ（Ｋ２ ≥ｋ０ ） ０． ２５ ０． １５ ０． １０ ０． ０５ ０． ０２５ ０． ０１０ ｋ０ １． ３２３ ２． ０７２ ２． ７０６ ３． ８４１ ５． ０２４ ６． ６３５ 高二数学试题 第 ３ 页（共 ４ 页） ２０． （１２ 分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ａ － ２ ２ｘ ＋ １为奇函数． （１）求实数 ａ 的值，并用定义证明函数 ｆ（ｘ）的单调性；（２）若对任意的 ｔ∈Ｒ，不等式 ｆ（ｔ２ ＋ ２）＋ ｆ（ｔ２ － ｔｋ）＞ ０ 恒成立，求实数 ｋ 的取值范围． ２１． （１２ 分）某省 ２０２１ 年开始将全面实施新高考方案． 在 ６ 门选择性考试科目中，物理，历史这两门科目采用原始分计分；思想政治，地理，化学，生物这 ４ 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ 共 ５ 个等级，各等级人数所占比例分别为 １５％ ，３５％ ，３５％ ，１３％ 和 ２％ ，并按给定的公式进行转换赋分． 该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治，地理，化学，生物这 ４ 门科目的原始分进行了等级转换赋分． （１）某校生物学科获得 Ａ 等级的共有 １０ 名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 ９１ ９０ ８９ ８８ ８７ ８５ ８３ ８２ 转换分 １００ ９９ ９７ ９５ ９４ ９１ ８８ ８６ 人数 １ １ ２ １ ２ １ １ １ 现从这 １０ 名学生中随机抽取 ３ 人，设这 ３ 人中生物转换分不低于 ９５ 分的人数为 Ｘ，求 Ｘ 的分布列和数学期望；（２）假设该省此次高一学生生物学科原始分 Ｙ 服从正态分布 Ｎ（７５． ８，３６）． 若 Ｙ ～ Ｎ（μ，σ２ ），令 η ＝ Ｙ － μ σ ，则 η ～ Ｎ（０，１），请解决下列问题： ①若以此次高一学生生物学科原始分 Ｃ 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分约为多少分？（结果保留整数） ②现随机抽取了该省 ８００ 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记 ξ 为被抽到的原始分不低于 ７１ 分的学生人数，求 Ｐ（ξ ＝ ｋ）取得最大值时 ｋ 的值． 附：若 η ～ Ｎ（０，１），则 Ｐ（η≤０． ８）≈０． ７８８，Ｐ（η≤１． ０４）≈０． ８５ ２２． （１２ 分）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ａｘ ＋ ２ｌｎｘ． （１）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间；（２）设函数 ｆ（ｘ）有两个极值点 ｘ１ ，ｘ２ （ｘ１ ＜ ｘ２ ），若 ｆ（ｘ１ ）＞ ｍｘ２ 恒成立，求实数 ｍ 的取值范围． 高二数学试题 第 ４ 页（共 ４ 页） 高二年级考试 数学参考答案及评分标准 ２０２０ ７ 一、单项选择题：题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答　 案 Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ 二、多项选择题：题　 号 ９ １０ １１ １２ 答　 案 ＡＢＤ ＡＣＤ ＡＤ ＢＤ 三、填空题： １３． （－ １，３）　 　 　 １４． １２　 　 　 １５． １，１　 　 　 １６． １ － ｌｎ２四、解答题： １７． （１０ 分） 解：（１）ｚ ＝ ５ １ ＋ ２ｉ ＋ １ ＋ ｉ ＝ ５（１ － ２ｉ）（１ ＋ ２ｉ）（１ － ２ｉ）＋ １ ＋ ｉ ＝ ２ － ｉ ３ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｜ ｚ 槡｜ ＝ ５ ，珋ｚ ＝ ２ ＋ ｉ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）由（１）知，ｚ ＝ ２ － ｉ ∵ 复数 ｚ 是方程 ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ ｎ ＝ ０ 的一个根 ∴ （２ － ｉ）２ ＋ ｍ（２ － ｉ）＋ ｎ ＝ ０即（２ｍ ＋ ｎ ＋ ３）－ （ｍ ＋ ４）ｉ ＝ ０ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ２ｍ ＋ ｎ ＋ ３ ＝ ０ ｍ{ ＋ ４ ＝ ０ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得 ｍ ＝ － ４ ｎ{ ＝ ５ ∴ ｍ ＝ － ４，ｎ ＝ ５ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８． （１２ 分）解：方案一：选条件① （１）Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ ｎ （槡ｘ）ｎ － ｒ （－ １ ３槡ｘ ）ｒ ＝ Ｃｒ ｎ （－ １）ｒ ｘ ３ｎ － ５ｒ ６ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由题知，Ｃ４ ｎ （－ １）４ Ｃ２ ｎ （－ １）２ ＝ １４ ３ ， ∴ ｎ！ ４！（ｎ － ４）！× ２！（ｎ － ２）！ ｎ！ ＝ １４ ３整理得（ｎ － ３）（ｎ － ２）＝ ５６，即 ｎ２ － ５ｎ － ５０ ＝ ０，解得 ｎ ＝ １０ 或 ｎ ＝ － ５（舍去）． ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｎ ＝ １０ ∴ 展开式共有 １１ 项，其中二项式系数最大的项是第 ６ 项， Ｔ６ ＝ Ｃ５ １０ （－ １）５ ｘ ５ ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ∴ 展开式中二项式系数最大的项是第 ６ 项，Ｔ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ６ 分!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 １ 页（共 ５ 页） （２）由（１）知，ｎ ＝ １０， ∴ Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ １０ （－ １）ｒ ｘ５ － ５ ６ ｒ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 令 ５ － ５ｒ ６ ＝ ５，解得 ｒ ＝ ０， Ｔ１ ＝ ｘ５ ∴ 展开式中含 ｘ５ 的项是第 １ 项，Ｔ１ ＝ ｘ５ １２ 分!!!!!!!!!!!!!方案二：选条件② （１）由题意得，Ｃ１ ｎ ＋ Ｃｎ － ２ ｎ ＝ Ｃ１ ｎ ＋ Ｃ２ ｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ２ ＝ ５５ 整理得 ｎ２ ＋ ｎ － １１０ ＝ ０解得 ｎ ＝ １０ 或 ｎ ＝ － １１（舍） ∴ ｎ ＝ １０ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 展开式共有 １１ 项，其中二项式系数最大的项是第 ６ 项， Ｔ６ ＝ Ｃ５ １０ （－ １）５ ｘ ５ ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ． ∴ 展开式中二项式系数最大的项是第 ６ 项，Ｔ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ． ６ 分!!!!!!（２）同方案一（２）方案三：选条件③（１）Ｃ２ ｎ ＋ １ － Ｃｎ － ２ ｎ ＝ Ｃ２ ｎ ＋ １ － Ｃ２ ｎ ＝ Ｃ１ ｎ ＝ １０ ∴ ｎ ＝ １０， ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 展开式共有 １１ 项，其中二项式系数最大的项是第 ６ 项， Ｔ６ ＝ Ｃ５ １０ （－ １）５ ｘ ５ ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ． ∴ 展开式中二项式系数最大的项是第 ６ 项，Ｔ６ ＝ － ２５２ｘ ５ ６ ． ６ 分!!!!!!（２）同方案一（２） １９． （１２ 分）解：（１）随机抽样的 １００ 名居民每人每天的平均健身时间为 １． ２ × ４０ ＋ ０． ８ × １０ ＋ １． ５ × ３０ ＋ ０． ７ × ２０ １００ ＝ １． １５ 小时 ３ 分!!!!!!!! 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 １． １５ 小时， ∵ １． １５ 小时 ＝ ６９ 分钟 ＜ ７０ 分钟 ∴ 该社区不可称为“健身社区” ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）根据列联表中的数据，得到 ｋ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ）２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ）＝１００ × （４０ ×２０ －３０ ×１０）２ ７０ ×３０ ×５０ ×５０ ≈４．７６２ ＞３．８４１， ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 能在犯错误的概率不超过 ０． ０５ 的前提下认为“健康族”与“性别”有关系． １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０． （１２ 分）解：（１）函数 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｒ ｆ（－ ｘ）＝ ａ － ２ ２ － ｘ ＋ １ ＝ ａ － ２ｘ ＋ １ ２ｘ ＋ １ ∵ 函数 ｆ（ｘ）为奇函数 ∴ ｆ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ）恒成立 即　 ａ － ２ｘ ＋ １ ２ｘ ＋ １ ＝ － ａ ＋ ２ ２ｘ ＋ １恒成立 ∴ ２ａ － ２（２ｘ ＋ １） ２ｘ ＋ １ ＝ ０ 恒成立 ∴ ａ ＝ １ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｆ（ｘ）＝ １ － ２ ２ｘ ＋ １ 高二数学试题参考答案 第 ２ 页（共 ５ 页） 设 ｘ１ ，ｘ２ ∈Ｒ，且 ｘ１ ＜ ｘ２ ，则 ｆ（ｘ１ ）－ ｆ（ｘ２ ）＝ （１ － ２ ２ｘ１ ＋ １）－ （１ － ２ ２ｘ２ ＋ １） ４ 分!!!!!!!!!!!! ＝ ２（２ｘ１ － ２ｘ２ ）（２ｘ１ ＋ １）（２ｘ２ ＋ １） ∵ ｙ ＝ ２ｘ 是 Ｒ 上的增函数 ∴ ２ｘ１ － ２ｘ２ ＜ ０ ∴ ｆ（ｘ１ ）－ ｆ（ｘ２ ）＜ ０，即 ｆ（ｘ１ ）＜ ｆ（ｘ２ ） ∴ 函数 ｆ（ｘ）是 Ｒ 上的增函数． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）∵ ｆ（ｘ）是奇函数 ∴ ｆ（ｔ２ ＋ ２）＋ ｆ（ｔ２ － ｔｋ）＞ ０ 对任意的 ｔ∈Ｒ 恒成立等价于 ｆ（ｔ２ ＋ ２）＞ ｆ（ｔｋ － ｔ２ ）对任意的 ｔ∈Ｒ 恒成立 ９ 分!!!!!!!!!!!!又 ｆ（ｘ）在 Ｒ 上是增函数 ∴ ｔ２ ＋ ２ ＞ ｔｋ － ｔ２ 对任意的 ｔ∈Ｒ 恒成立即 ２ｔ２ － ｋｔ ＋ ２ ＞ ０ 对任意的 ｔ∈Ｒ 恒成立 １０ 分!!!!!!!!!!!!! ∴ Δ ＝ ｋ２ － １６ ＜ ０，即 － ４ ＜ ｋ ＜ ４ ∴ 实数 ｋ 的取值范围是（－ ４，４） １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!! ２１． （１２ 分）解：（１）随机变量 Ｘ 的所有可能取值为 ０，１，２，３ Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ３ ５ Ｃ３ １０ ＝ １０ １２０ ＝ １ １２，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１ ５ Ｃ２ ５ Ｃ３ １０ ＝ ５０ １２０ ＝ ５ １２， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２ ５ Ｃ１ ５ Ｃ３ １０ ＝ ５０ １２０ ＝ ５ １２，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ３ ５ Ｃ３ １０ ＝ １０ １２０ ＝ １ １２ ３ 分!!!!!!! 所以，随机变量 Ｘ 的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １ １２ ５ １２ ５ １２ １ １２ ∴ Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １ １２ ＋ １ × ５ １２ ＋ ２ × ５ １２ ＋ ３ × １ １２ ＝ ３ ２ ４ 分!!!!!!!!!!! （２）①由 Ｙ ～ Ｎ（７５． ８，３６）得 μ ＝ ７５． ８，σ ＝ ６ 令 η ＝ Ｙ － μ σ ＝ Ｙ － ７５． ８ ６ ，则 Ｙ ＝ ６η ＋ ７５． ８ 设该划线分为 ｍ，则 Ｐ（Ｙ≥ｍ）≈０． ８５ ∴ Ｐ（６η ＋ ７５． ８≥ｍ）＝ Ｐ η≥ｍ － ７５． ８( )６ ≈０． ８５ ∵ 当 η ～ Ｎ（０，１）时，Ｐ（η≤１． ０４）≈０． ８５ ∴ Ｐ（η≥ － １． ０４）≈０． ８５ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｍ － ７５． ８ ６ ≈ － １． ０４ ∴ ｍ≈６９． ５６ ∴ ｍ ＝ ７０ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ②由①知 Ｐ（Ｙ≥７１）＝ Ｐ（６η ＋ ７５． ８≥７１）＝ Ｐ（η≥ － ０． ８）＝ Ｐ（η≤０． ８）≈０． ７８８即事件“每个学生生物统考成绩不低于 ７１ 分”的概率约为 ０． ７８８ ∴ ξ ～ Ｂ（８００，０． ７８８），Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋ ８０００． ７８８ｋ （１ － ０． ７８８）８００ － ｋ ９ 分!!!!! 由 Ｐ（ξ ＝ ｋ）≥Ｐ（ξ ＝ ｋ － １） Ｐ（ξ ＝ ｋ）≥Ｐ（ξ ＝ ｋ ＋ １{ ）得 高二数学试题参考答案 第 ３ 页（共 ５ 页） Ｃｋ ８０００． ７８８ｋ （１ － ０． ７８８）８００ － ｋ ≥Ｃｋ － １ ８００ ０． ７８８ｋ － １ （１ － ０． ７８８）８０１ － ｋ Ｃｋ ８０００． ７８８ｋ （１ － ０． ７８８）８００ － ｋ ≥Ｃｋ ＋ １ ８００ ０． ７８８ｋ ＋ １ （１ － ０． ７８８）７９９ －{ ｋ １０ 分!!!! 解得 ６３０． １８８≤ｋ≤６３１． １８８又 ｋ∈Ｎ ∴ ｋ ＝ ６３１ ∴ 当 ｋ ＝ ６３１ 时，Ｐ（ξ ＝ ｋ）取得最大值． １２ 分!!!!!!!!!!!!! ２２． （１２ 分）解：（１）由题知，函数 ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞ ） ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘ２ － ａｘ ＋ ２ ｘ （ｘ ＞ ０） 令 ｇ（ｘ）＝ ２ｘ２ － ａｘ ＋ ２，则 Δ ＝ ａ２ － １６当 Δ≤０ 即 － ４≤ａ≤４ 时，ｇ（ｘ）≥０，即 ｆ ′（ｘ）≥０ ∴ 函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，＋ ∞ ） ２ 分!!!!!!!!!!!!!当 Δ ＞ ０ 即 ａ ＜ － ４ 或 ａ ＞ ４ 时，令 ｇ（ｘ）＝ ０ 解得 ｘ ＝ ａ － ａ２槡 － １６ ４ 或 ｘ ＝ ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ 若 ａ ＜ － ４，则ａ － ａ２槡 － １６ ４ ＜ ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ＜ ０ ∵ ｘ ＞ ０ ∴ ｇ（ｘ）＞ ０，即 ｆ ′（ｘ）＞ ０ ∴ 函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，＋ ∞ ） ４ 分!!!!!!!!!!!!! 若 ａ ＞ ４，则ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ＞ ａ － ａ２槡 － １６ ４ ＞ ０，令 ｆ ′（ｘ）＞ ０，即 ｇ（ｘ）＞ ０， 解得 ０ ＜ ｘ ＜ ａ － ａ２槡 － １６ ４ 或 ｘ ＞ ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ； 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，即 ｇ（ｘ）＜ ０，解得ａ － ａ２槡 － １６ ４ ＜ ｘ ＜ ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ． ∴ 函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，ａ － ａ２槡 － １６ ４ ），（ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ，＋ ∞ ）； 单调递减区间为（ａ － ａ２槡 － １６ ４ ，ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ）． 综上，当 ａ≤４ 时，函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，＋ ∞ ）； 当 ａ ＞４ 时，函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，ａ － ａ２槡 －１６ ４ ），（ａ ＋ ａ２槡 －１６ ４ ，＋ ∞）， 单调递减区间为（ａ － ａ２槡 － １６ ４ ，ａ ＋ ａ２槡 － １６ ４ ） ６ 分!!!!!!!!!! （２）ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘ２ － ａｘ ＋ ２ ｘ （ｘ ＞ ０） 若 ｆ（ｘ）有两个极值点 ｘ１ ，ｘ２ （ｘ１ ＜ ｘ２ ），则 ｘ１ ，ｘ２ 是方程 ２ｘ２ － ａｘ ＋ ２ ＝ ０ 的两不等正实根由（１）知，ａ ＞ ４， ∴ ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ａ ２ ＞ ２，ｘ１ ｘ２ ＝ １ ∴ ０ ＜ ｘ１ ＜ １ ＜ ｘ２ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｆ（ｘ１ ）＞ ｍｘ２ 恒成立，即ｆ（ｘ１ ） ｘ２ ＞ ｍ 恒成立 高二数学试题参考答案 第 ４ 页（共 ５ 页） ｆ（ｘ１ ） ｘ２ ＝ ｘ２ １ － ａｘ１ ＋ ２ｌｎｘ１ ｘ２ ＝ ｘ２ １ － ２ｘ２ １ － ２ ＋ ２ｌｎｘ１ １ ｘ１ ＝ － ｘ３ １ － ２ｘ１ ＋ ２ｘ１ ｌｎｘ１ １０ 分!! 令 ｈ（ｔ）＝ － ｔ３ － ２ｔ ＋ ２ｔｌｎｔ，则 ｈ ′（ｔ）＝ － ３ｔ２ ＋ ２ｌｎｔ当 ０ ＜ ｔ ＜ １ 时，ｈ ′（ｔ）＜ ０ ∴ ｈ（ｔ）在（０，１）上为减函数 ∴ 当 ０ ＜ ｔ ＜ １ 时，ｈ（ｔ）＞ ｈ（１）＝ － ３ ∴ ｆ（ｘ１ ） ｘ２ ＞ － ３ ∴ ｍ ≤ － ３ ∴ 实数 ｍ 的取值范围（－ ∞ ，－ ３］ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!! 高二数学试题参考答案 第 ５ 页（共 ５ 页）