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- 2021-04-20 发布
姓名 班级 考场
………………………………………………密 …… 封 ……… 线……………………………………………………
绝密★启用前
河南大学附属中学2018-2019学年高二下期期中
数学试题（理科）
考试时间：120分钟
一．选择题（共12小题，每小题5分）
1．1．设，则的虚部为( )
A．1 B． C．－1 D．
2．在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A、B、C做了一项预测:
A说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.
B说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.
C说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.
比赛结果出来后,发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知双曲线C：的焦距为10，点在C的渐近线上，则C的方程是
A． B． C． D．
4．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）
A．300种 B．150种 C．120种 D．90种
5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )
A． B． C．1 D．
6．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为
A． B． C． D．
7．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，不出现空盒的放法共有( )种
A.10 B.20 C.30 D.40
9．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示若正数a，b满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是
A．函数的值域与的值域相同
B．若是函数的极值点，则是函数的零点
C．把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像
D．函数和在区间 上都是增函数
11．设集合，那么集合中满足条件“ ”的元素个数为（ ）
A．60 B．65 C．80 D．81
12．己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，每小题5分）
13.在的展开式中，含项的系数为 .
14．___________
15．已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③存在圆，使得是圆的一个太极函数；
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数；
⑤若函数是圆的太极函数，则
所有正确的是__________．
三．解答题
17．（本小题满分10分）已知函数
(1)求
(2)求曲线过的切线的方程；
18．（本小题满分12分）已知数列满足，
（1）求，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．
19．（本小题满分12分）已知函数．
当时，求在上的值域；
若方程有三个不同的解，求b的取值范围．
20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为8的菱形，,是等边三角形，二面角的余弦值为.
求证:;
求直线与平面夹角的正弦值.
21. （本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在圆.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点是C的左焦点,过点作圆的切线,交C于A,B两点,求
的面积的最大值.
22. （本小题满分12分）设函数.
(1)求函数的极值点的个数;
(2)若,证明:
期中考试数学答案
CACBB CABAC DC
-10 45 ②④⑤
17.(1)
(2)设处的切线为，则的方程为：
，由于过代入直线方程可得
，即，所以或
时，切线的斜率为.
切线的方程为，即
时，切线的斜率为.
切线的方程为，即
综上：曲线过的切线的方程为或
18. （1），猜想.
（2）当时，命题成立；
假设当时命题成立，即，
故当时，，
故时猜想也成立.
综上所述，猜想成立，即.
19.（1）当时，
则
令，解得或
列表如下；
由表可知，在上的最小值为，最大值为
所以在的值域是
（2）由，得
设，则
由，解得：
由，解得：或
所以在递减；在，递增
所以极大值为：；极小值为：，
画出的图象如图所示；
有三个不同解与有三个不同交点
结合图形知，
解得：，
所以方程有三个不同的解时，的取值范围是
20
21(1)椭圆方程为（2）最大值为
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