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- 2021-04-20 发布
江苏省高邮中学高三年级十月第二次阶段考试
数学试卷（必做部分）
出卷： 校对： 2017.10
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．集合，，若，则 ▲ .
2.已知为虚数单位），若复数在复平面内对应的点在实轴上，则 ▲ .
3.若命题是假命题，则实数的取值范围是 ▲ .
4.已知向量若则实数 ▲ .
5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ▲ .
6.若变量，满足约束条件，则的取值范围为 ▲ ．
7. 若在锐角△ABC中（a，b，c分别为内角A，B，C的对边），满足a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB，则角C的值为 ▲ ．
8.设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t+1）的实数t的取值范围是 ▲ ．
9．如图所示，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为____▲____．
10．将函数的图象，向左平移个单位，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为 ▲ ．
11．在△ABC中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ▲ ．
12．若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是 ▲ ．
13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线上一点，若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，则点P纵坐标的取值范围是 ▲ .
14．已知函数，方程有四个实数根，则t的取值范围 ▲ ．
二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.
15．(本小题满分14分) 已知直线与直线是函数 的图象的两条相邻的对称轴.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
A
D
B
C
16．(本小题满分14分) 如图，在中，点在边上，，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
17．(本小题满分14分) 在直角坐标系xoy中，圆O：与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
（1）若，求△AMN的面积；
（2）过点P（3，﹣4）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求．
18．(本小题满分16分) 某工厂为提升产品销售，决定投入适当广告费进行促销，经调查测算，该产品的销售量M万件与促销费用x万元满足（0≤x≤a，a为正常数），已知生产该批产品M万件还需投入其他成本10+2M万元，产品销售价格定为元/件．假定该厂家的生产能充分满足市场需求．
（1）请将该产品的纯利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，工厂的利润最大？
19．(本小题满分16分) 已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积OC•OD是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．
20． (本小题满分16分) 已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围；
（3）设函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
江苏省高邮中学高三年级十月份第二次阶段测试
数学附加试卷
出卷： 校对： 2017.10
21.（本题满分10分）
已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．
22．（本题满分10分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
23.（本题满分10分）
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．
（1）求P(ξ＝1)；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
24.（本题满分10分）
某品牌设计了编号依次为的n种不同款式的时装，由甲、乙两位 模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．
（1）若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；
（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．
江苏省高邮中学高三年级十月第二次考试
数学试卷（必做部分）参考答案
1． 2. 3. 4．0 5. 6. 7. 8.
9.＋1 10．2 11． 12. 8 13. 14.
15．解：(1)因为直线、是函数图象的两条相邻的对称轴，
所以，函数的最小正周期.………………………………2分
所以，即.………………………………………5分
又因为，所以………………………………………………………7分
(2)由(1)，得.由题意，.………………………………8分
由，得.从而.…………………………10分
…………………………12分
………………………………14分
16.解：（1）因为，所以．
又因为，所以．
所以
． ………………………7分
（2）在中，由，得．
所以． …………14分
17．解：（1）∵A（﹣2，0），kAM=2，kAN=﹣，
∴直线AM的方程是：y=2x+4，直线AN的方程是：y=﹣x﹣1，
∴圆心O的直线AM的距离d=，从而|AM|=2=，
∵KAM•KAN=﹣1，∴AM⊥AN，∴|AN|=2d=，
∴S△AMN=×=；………………………………………………7分
（2）∵，
∴
又∵，
∴．………………………14分
18.解：（1）由题意可知，y=M（4+）﹣x﹣（10+2M）=2M﹣x+10，
∵M=3﹣，
∴y=f（x）=16﹣﹣x（0≤x≤a，a为正常数）．…………………………………6分
（2）y′=﹣1==．………………………………8分
当a＞1时，x∈（0，1）时，y′＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单增，
在（1，a]上，y′＜0，∴函数f（x）在（1，a]单减．
∴当促销费用为1万元时，工厂的利润最大．…………………………………………11分
当0＜a≤1时，x∈（0，a）时，y′＞0，∴函数f（x）在（0，a）上单增，
在（a，1]上，y′＜0，∴函数f（x）在（a，1]单减．
∴当促销费用为a万元时，工厂的利润最大．…………………………………………15分
故当a＞1时，当促销费用为1万元时，工厂的利润最大．
当0＜a≤1时，当促销费用为a万元时，工厂的利润最大．…………………………16分
19．解：（1）连结FQ，则FQ=NQ，∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，
椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆
∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1，
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，
故点Q的轨迹C的方程为：…………………4分
（2）证明：设P（x0，y0），x0≠0,y0≠0
直线B1P的方程为：y=．
令y=0，得，
OC•OD=|xC|•|xD|=||∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，
∴．即3x02=4（3﹣y02），
∴=4，OC•OD是否为定值4．……………………………………………9分
（3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），CD=3，
设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0
解得：．|y1﹣y2|=，
△ABD面积s=×|y1﹣y2|=•==；
∵，根据∵在[1，+∞）递增 可得3．
∴
∴m=0，即直线AB：x=﹣1时，△ABD面积的最大为． ………………………16分
20.解: （1）当时,,, ……………1 分
, ………………………2 分
曲线在点处的斜率为, ………………………3 分
故曲线在点处的切线方程为,
即. ………………………4 分
（2）解: . ………………………5 分
令,要使在定义域内是增函数,
只需≥在区间内恒成立. ………………………6 分
依题意,此时的图象为开口向上的抛物线,
,
其对称轴方程为,,
则只需≥,即≥时,≥,≥, …………………8 分
所以定义域内为增函数,实数的取值范围是. ………9 分
（3）解: 构造函数,,依题意, ……………10分
由（2）可知≥时,为单调递增函数,
即在上单调递增, …………………12分
,则,
此时,,即成立.
当≤时,因为,,
故当值取定后,可视为以为变量的单调递增函数,
则≤,,
故≤,即≤,不满足条件.
所以实数的取值范围是. ………………………16分
江苏省高邮中学高三第一学期十月双周考试
数学试卷（必做部分）
出卷：陈惟前 校对：李宁 2017.10
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．集合，，若，则 .
2.已知为虚数单位），若复数
在复平面内对应的点在实轴上，则 . 2.
3.若命题是假命题，则实数的取值范围是 .
3.
4.已知向量若则实数 .
4．0
5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ▲ .
5.
6.若变量，满足约束条件，则的取值范围为 ．
6.
7. 若在锐角△ABC中（a，b，c分别为内角A，B，C的对边），满足a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB，则角C的值为 ． 7.
8.设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t+1）的实数t的取值范围是 ．8.
9．将函数的图象，向左平移个单位，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为 ．
9.2
10．在△ABC中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
解：如图所示，△ABC中，，
∴=+=+=+（﹣=+，
又点E在射线AD（不含点A）上移动，设=k，k＞0，
∴=+，又，
∴，∴=+≥2=，当且仅当k=时取“=”；
∴λ+的最小值为．
11.已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率 ▲ ．
11.解：双曲线的渐近线方程为y=±，设M在直线y=上，M（x0，），F（c，0），则MF==b，OM===a，∵2=，∴FN=2b，
∴S△OFN=2S△OMF，即=2×∵∠MOF=∠NOF，∴ON=2a，在Rt△OMN中，由勾股定理得a2+9b2=4a2，∴b2=，∴e==．
故答案为：．
12．若正实数x，y满足x+y=4，则的最小值是 ．
12. 3
13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线上一点，若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，则点P纵坐标的取值范围是 .
解：设点P的坐标为（，y0），设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有，即．该方程组有解，即圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤
y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．
14．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．
14．解：f（x）=|xex|=，当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
如图：令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，
且一个根在内，一个根在内，
再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．
二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.
15．(本小题满分14分) 已知直线与直线是函数 的图象的两条相邻的对称轴.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
解：(1)因为直线、是函数图象的两条相邻的对称轴，
所以，函数的最小正周期.………………………………2分
所以，即.………………………………………5分
又因为，所以………………………………………………………6分
(2)由(1)，得.由题意，.………………………………7分
由，得.从而.…………………………8分
…………………………10分
………………………………12分
16．(本小题满分14分)
如图，在中，点在边上，，．
A
D
B
C
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若求的面积．
解：（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以．
所以
． ………………………7分
（Ⅱ）在中，由，得．
所以． …………13分
17．(本小题满分14分) 在直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
（1）若kAM=2，kAN=﹣，求△AMN的面积；
（2）过点P（3，﹣4）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求 •．
解：（1）∵A（﹣2，0），kAM=2，kAN=﹣，
∴直线AM的方程是：y=2x+4，直线AN的方程是：y=﹣x﹣1，
∴圆心O的直线AM的距离d=，从而|AM|=2=，
∵KAM•KAN=﹣1，∴AM⊥AN，∴|AN|=2d=，
∴S△AMN=×=；
（2）∵，
∴
又∵，
∴．
18．(本小题满分16分)
如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
(1)若，求的长度；
(2)若,当为多大时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
P
D
Q
C
N
B
A
M
解．（1）连接, 过作垂足为 , 过作垂足为
在中，，……………4分
P
D
Q
C
N
B
A
M
（2）设，
若，在中，
若则
若则 ………8分
在中， ，
所以总路径长 ………………………10分
………………………12分
令，
当 时，当 时，…………………………14分
所以当时，总路径最短.
答：当时，总路径最短. …………………………16分
19．(本小题满分16分) 已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|•|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．
解：（1）连结FQ，则FQ=NQ，∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，
椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆
∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1，
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，
故点Q的轨迹C的方程为：
（2）证明：设P（x0，y0），x0≠0,y0≠0
直线B1P的方程为：y=．
令y=0，得，|OC|•|OD|=|xC|•|xD|=||
∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，∴．
即3x02=4（3﹣y02），∴=4，|OC|•|OD|是否为定值4．
（3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3，
设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0
解得：．|y1﹣y2|=，
△ABD面积s=×|y1﹣y2|=•==；
∵，根据∵在[1，+∞）递增 可得3．
∴
∴m=0，即直线AB：x=﹣1时，△ABD面积的最大为．
20． (本小题满分16分) 已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围；
（3）设函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
（1）解: 当时,,, …………………（1 分）
, ………………………（2 分）
曲线在点处的斜率为, ………………………（3 分）
故曲线在点处的切线方程为,
即. ………………………（4 分）
（2）解: . ………………………（5 分）
令,要使在定义域内是增函数,
只需≥在区间内恒成立. ………………………（6 分）
依题意,此时的图象为开口向上的抛物线,
,
其对称轴方程为,,
则只需≥,即≥时,≥,≥, …………………（8 分）
所以定义域内为增函数,实数的取值范围是. ………（9 分）
（3）解: 构造函数,,依题意, ……………（10分）
由（Ⅱ）可知≥时,为单调递增函数,
即在上单调递增, …………………（12分）
,则,
此时,,即成立.
当≤时,因为,,
故当值取定后,可视为以为变量的单调递增函数,
则≤,,
故≤,
即≤,不满足条件.
所以实数的取值范围是. ………………………（16分）
设椭圆的左、右焦点分别为,且、
满足条件.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若坐标原点到直线的距离为,求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,过点的直线与椭圆交于两点,且点恰为线段的中点,求直线的方程.
（19）（本题14分）
（Ⅰ）解: 依题意,得,而, ………………………（2 分）
则有,即,故, ………（3 分）
所以离心率. ………………………（4 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可得, ………………………（5 分）
直线的截距式方程为,即, ……………（6 分）
依题意,得, ………………………（7 分）
由 解得 ………………………（9 分）
所以椭圆的方程的方程为. ………………………（10分）
（Ⅲ）解: 设两点的坐标分别为和,
依题意,可知,且,, ………………………（11分）
两式相减,得. …………………（12分）
因为是线段的中点,所以,,
则有,即直线的斜率为,且直线过点, ………（13分）
故直线的方程为,即. …………………（14分）
已知椭圆：的短轴长为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点，与圆相切
于点．
（i）证明：（为坐标原点）；
（ii）设，求实数的取值范围．
（16） （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵，∴．…… 1分
又，，
∴ ． ……3分
∴ 椭圆的方程为 ． …… 4分
（Ⅱ）（i）∵直线：与圆相切，
∴，即． ……5分
由 消去y并整理得，．
设，，
则． …… 7分
∵．
，
∴． …… 9分
（ii）∵直线：与椭圆交于不同的两点，
∴．
∴． …… 11分
由（Ⅱ）（i）知，
∴，，即．
∴． …… 13分
∵，
∴的取值范围是． …… 14分
已知函数f（x）=（）x，
（1）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值g（a）；
（2）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵x∈[﹣1，1]，∴f（x）=（）x∈[，3]，
y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=[（）x]2﹣2a（）x+3=[（）x﹣a]2+3﹣a2，
由一元二次函数的性质分三种情况：
当a＜时，ymin=g（a）=﹣；
当≤a≤3时，ymin=g（a）=3﹣a2；
当a＞3时，ymin=g（a）=12﹣6a ∴g（a）=
（2）假设存在满足题意的m、n，∵m＞n＞3，且g（x）=12﹣6x在 （3，+∞）上是减函数
又g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴
两式相减得：6（m﹣n）=（m+n）（m﹣n），∵m＞n＞3，∴m+n=6，但这与“m＞n＞3”矛盾
∴满足题意的m、n不存在．
1．（2015秋•下城区校级期中）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．
【分析】（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，化简后根据多项式相等的条件求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）不等式恒成立即为把不等式变为x2﹣3x+1＞m，令g（x）等于x2﹣3x+1，求出g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最小值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g（1）即可求出m的范围；
（3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式．
【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0，
∴，
∴f（x）=x2﹣x+1；
（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立；
令，
x∈[﹣1，1]，
则对称轴：，则g（x）min=g（1）=﹣1，∴m＜﹣1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1]
对称轴为：，
①当时，即：；如图1：
g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7
②当时，即：；如图2：
g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，
综上所述：．
【点评】此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
18、已知函数是定义在上的奇函数，当时，。若对任意，，则实数的取值范围 .
解：当时，显然， 由奇偶性可知，当时，若对任意，
由图像可知， ∴
13.已知函数 ，若存在实数、、、()
满足 ．则的取值范围是 .
13．(0，12)
如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
(1)若，求的长度；
P
D
Q
C
N
B
A
M
(2)若,当为多大时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．
18．解．（1）连接, 过作垂足为 , 过作垂足为
在中，，……………4分
P
D
Q
C
N
B
A
M
（2）设，
若，在中，
若则
若则 ………8分
在中， ，
所以总路径长 ………………………10分
………………………12分
令，
当 时，当 时，…………………………15分
所以当时，总路径最短.
答：当时，总路径最短. …………………………16分
9．如图所示，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为____▲____．
9．解：|AF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，|AF1|＝|F1F2|·sin30°＝c.由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a.即2a＝(－1)c，∴e＝＝＝＋1.
江苏省高邮中学高三年级十月份第二次阶段测试
数学附加试卷 2017.10
21. 解：设，则由得，(5分)
解得所以.(10分)
22．解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（，，），
所以=（，，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，a）．
（1）因为平面PBD，所以==0．即
﹣+=0，所以a=1，即PA=1． ……………………………4分
（2）由=（0，1，0），A=（，，），
可求得平面AMD的一个法向量n=（﹣1，0，1）．
又=（﹣1，﹣1，1）．所以cos＜n，＞===，所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为． ……………………………10分
23. 解析：（1）； ………………3分
（2）的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分
，，,．
则随机变量的分布列为
3
的数学期望． ………………10分
24. 解：（1）甲从1到为给定的正整数，且号中任选两款，乙从到号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为，
记“款式和同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件 的种数为，
所以，
则所有的的和为：；(4分)
（2）甲从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：，
同理得，乙从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为，
据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：，
记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A，则事件A的对立事件为：“没有 一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：
，
所以.(10分)